弱ケーニッヒの補題 WKL0
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/19 05:20 UTC 版)
「逆数学」の記事における「弱ケーニッヒの補題 WKL0」の解説
WKL 0 {\displaystyle {\mbox{WKL}}_{0}\,} は、 RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} に弱ケーニッヒの補題（すべての無限二分木は無限路をもつ）を付け加えた体系である。 弱ケーニッヒの補題は選択公理に近く、実際 RCA 0 {\displaystyle {\text{RCA}}_{0}\,} において、 Π 1 1 {\displaystyle \Pi _{1}^{1}\,} 選択公理と WKL 0 {\displaystyle {\text{WKL}}_{0}\,} が同値であることを示せる。また、 Σ 1 0 {\displaystyle \Sigma _{1}^{0}\,} 分離原理とも同値になる。 WKL 0 {\displaystyle {\mbox{WKL}}_{0}\,} は、 RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} よりも証明能力が高く、 WKL 0 {\displaystyle {\mbox{WKL}}_{0}\,} では非計算可能集合の存在を示せる。 RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} と WKL 0 {\displaystyle {\mbox{WKL}}_{0}\,} の1階部分は同じ、つまり算術的な定理については証明能力は同じである。しかし、 WKL 0 {\displaystyle {\mbox{WKL}}_{0}\,} で証明可能で、 RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} では証明不可能な古典的数学の定理もある。これらの結果は2階部分の証明能力の違いを示している。 RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} 上で、 WKL 0 {\displaystyle {\mbox{WKL}}_{0}\,} と以下の定理が同値であることが示せる。 実数からなる単位閉区間に対する（開区間による任意の被覆が有限部分被覆を持つという意味での）ハイネ＝ボレルの定理。 完備全有界可分距離空間に対する（開球体列による被覆についての）ハイネ＝ボレルの定理。 単位閉区間（もしくは任意のコンパクト可分距離空間）上の連続実函数が有界であること（もしくは有界かつその境界値を実現する点が存在すること）。 単位閉区間上の連続実函数が有理係数多項式で一様に近似できること。 単位閉区間上の連続実函数が一様連続であること。 単位閉区間上の連続実函数がリーマン積分可能であること。 単位閉区間の有限個のコピーの直積上の連続函数に対するブラウワーの不動点定理。 可分バナッハ空間の部分空間上の有界線型形式が全体空間上の有界線型形式に拡張できるという形での可分ハーン＝バナッハの定理。 ジョルダンの閉曲線定理 可算言語に対するゲーデルの完全性定理。 任意の可算可換環が素イデアルを持つこと。 任意の可算形式的実体を順序体にできること。 可算体に対する代数閉包の一意性。
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