弱スター作用素位相

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弱スター作用素位相

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2012/09/07 08:21 UTC 版)

「弱作用素位相」の記事における「弱スター作用素位相」の解説

B(H) の前双対は、トレース級（英語版）作用素の集合 C1(H) であり、それは弱スター作用素位相（英語版）あるいは σ-弱位相と呼ばれる、B(H) 上の w*-位相を生成する。そのような弱作用素位相と σ-弱位相は、B(H) 内のノルム有界集合上で一致する。 WOT において、ネット {Tα} ⊂ B(H) が T へと収束するための必要十分条件は、Tr(TαF) がすべての有限ランク作用素（英語版） F に対して Tr(TF) へと収束することである。すべての有限ランク作用素はトレース級であるため、このことは WOT が σ-弱位相よりも弱いことを意味する。この主張がなぜ正しいのか理解するためには、すべての有限ランク作用素 F は有限和 F = ∑ λi uivi* であることを思い出す必要がある。すなわち、WOT において {Tα} が T へと収束するということは、Tr(TαF) = ∑ λi vi*(Tαui) が ∑ λi vi*(T ui) = Tr(TF) へと収束することを意味する。 わずかに拡張することで、弱作用素位相と σ-弱位相は B(H) 内のノルム有界集合上で一致するということを示すことが出来る: すべてのトレース級作用素は S = ∑ λi uivi* という形で表される。ここで正の数からなる級数 ∑λi は収束するものとする。supα ||Tα|| = k < ∞ および、WOT において Tα は T へと収束することを仮定する。すべてのトレース級 S に対して、Tr (TαS) = ∑λi vi*(Tαui) は∑ λi vi*(T ui) = Tr(TS) へと収束することが、例えば優収束定理が用いられることで、示される。 以上から、バナッハ-アラオグルの定理（英語版）によって、すべてのノルム有界集合は WOT においてコンパクトであることが分かる。