弱作用素位相
弱作用素位相
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/05 03:33 UTC 版)
X と Y を位相ベクトル空間とするとき、連続線型作用素の空間 L(X,Y) に下記のように弱作用素位相を定義できる： 定義 ― Kを R {\displaystyle \mathbb {R} } 、 C {\displaystyle \mathbb {C} } 、もしくはより一般に位相体とし、X、YをK上の位相ベクトル空間とし、L(X,Y)をXからY連続線形写像全体の集合とする。 このとき、任意のx ∈ Xと任意のα ∈ Y*に対し、 T ∈ L ( X , Y ) ↦ α ( T ( x ) ) ∈ K {\displaystyle T\in L(X,Y)\mapsto \alpha (T(x))\in K} が連続になる最弱の位相をL(X,Y)の弱作用素位相という。 X 上の弱位相の場合と同様、L(X,Y)上の弱作用素位相もセミノルムによって特徴づけられる： 命題 ― K、X、Y、L(X,Y)を上の定義と同様に取る。 このとき、x ∈ X、α ∈ Y*に対しL(X,Y)上のセミノルムを ‖ T ‖ x , α = | α ( T ( x ) ) | {\displaystyle \|T\|_{x,\alpha }=|\alpha (T(x))|} により定義すると、L(X,Y)上の弱作用素位相はセミノルムの族 ( ‖ ⋅ ‖ x , α ) x ∈ X , α ∈ Y ∗ {\displaystyle (\|\cdot \|_{x,\alpha })_{x\in X,\alpha \in Y^{*}}} が定める位相と一致する。 連続線形写像の空間L(X,Y)上には弱作用素位相以外にも強作用素位相、＊弱作用素位相（英語版）など複数の位相が入る。詳細は作用素位相を参照されたい。
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