弱値の定義と性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/12/19 03:37 UTC 版)
弱値はあらゆる物理量 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} にたいして、始状態 | i ⟩ {\displaystyle |i\rangle } および終状態 | f ⟩ {\displaystyle |f\rangle } によって決まる複素数値で具体的には A w = ⟨ f | A ^ | i ⟩ ⟨ f | i ⟩ {\displaystyle A_{\mathrm {w} }={\frac {\langle f|{\hat {A}}|i\rangle }{\langle f|i\rangle }}} によって与えられる。この数値は | i ⟩ = | f ⟩ {\displaystyle |i\rangle =|f\rangle } を満たす時には通常の量子論での A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} の期待値と同じであるから、期待値をある種の一般化をしていると考えることができる。しかし、通常の期待値と違って A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} の最大固有値などでバウンドされず、しかも A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} がエルミートであるにも関わらず実数になるとは限らない。具体的には例えば A ^ = | 1 ⟩ ⟨ 1 | − | − 1 ⟩ ⟨ − 1 | {\displaystyle {\hat {A}}=|1\rangle \langle 1|-|-1\rangle \langle -1|} | i ⟩ = 2 3 | 1 ⟩ + i 1 3 | − 1 ⟩ {\displaystyle |i\rangle ={\sqrt {\frac {2}{3}}}|1\rangle +i{\sqrt {\frac {1}{3}}}|-1\rangle } | f ⟩ = i 2 3 e i ϕ | 1 ⟩ + 1 3 e − i ϕ | − 1 ⟩ {\displaystyle |f\rangle =i{\sqrt {\frac {2}{3}}}e^{i\phi }|1\rangle +{\sqrt {\frac {1}{3}}}e^{-i\phi }|-1\rangle } と選ぶとき A w = − i 2 3 e − i ϕ − i 1 3 e i ϕ − i 2 3 e − i ϕ + i 1 3 e i ϕ = 2 e − i ϕ + e i ϕ 2 e − i ϕ − e i ϕ = 3 cos ϕ − i sin ϕ cos ϕ − i 3 sin ϕ = 3 + i 8 sin ϕ 1 + 8 sin 2 ϕ {\displaystyle A_{\mathrm {w} }={\frac {-i{\frac {2}{3}}e^{-i\phi }-i{\frac {1}{3}}e^{i\phi }}{-i{\frac {2}{3}}e^{-i\phi }+i{\frac {1}{3}}e^{i\phi }}}={\frac {2e^{-i\phi }+e^{i\phi }}{2e^{-i\phi }-e^{i\phi }}}={\frac {3\cos {\phi }-i\sin {\phi }}{\cos {\phi }-i3\sin {\phi }}}={\frac {3+i8\sin {\phi }}{1+8\sin ^{2}{\phi }}}} となり、実部と虚部が共に現れることが確かめられるほか、ここで ϕ = π 8 {\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{8}}} を選ぶことで R e A w = 3 5 − 2 2 > 1 {\displaystyle \mathrm {Re} A_{\mathrm {w} }={\frac {3}{5-2{\sqrt {2}}}}>1} および I m A w = 4 2 − 2 5 − 2 2 = 1.40979... > 1 {\displaystyle \mathrm {Im} A_{\mathrm {w} }={\frac {4{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}{5-2{\sqrt {2}}}}=1.40979...>1} となる。このような性質を用いてシグナルの振れ幅を大きくすることで信号を増幅する「弱値増幅」と呼ばれる手法にも一部で注目があり、すでにHostenらの実験など、実証も行われている。
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