算術級数の素数定理の拡張

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算術級数の素数定理の拡張

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 22:49 UTC 版)

「算術級数の素数定理」の記事における「算術級数の素数定理の拡張」の解説

算術級数の素数定理が証明された後、 の誤差項の改善が大きな課題となった。 イヴァン・ヴィノグラードフ（英語版）（1958年）は指数和の評価を用いて誤差項を に改善した。これが現在知られている最良の誤差項である。 一方、ゴールドバッハ予想などの数論上の問題の研究の過程で、dに対する依存の評価がより重要であると考えられるようになった。このときに問題となるのはは χ が実指標のとき、 を満たす零点を持つ可能性を除外できないことである。ただし、正の実数 s に対して となる事例はあるとしても1個しか存在しない。 ディリクレの類数公式から、任意の正の ε に対して であることがわかり、これから の実の零点 s は を満たすことが従う。ここで c は計算可能な正の定数である。 カール・ジーゲルは二次体の類数についての研究結果から任意の正の ε に対して を示し、これから を 示した。ただしこのときは c は計算可能ではない。これは後にセオドア・エスターマン（英語版）によって複素函数論の基礎的な定理のみを用いて証明された。この結果から、任意の正の ε に対して、 ならば （ここで c1 は ε にのみ依存する正の定数） が成り立つ事が示される。