タウバーの定理とは？わかりやすく解説

解析学において、タウバーの定理（タウバーのていり、英: Tauber's Theorem）は無限級数の収束に関する定理^[1]。ある一定の条件の下、無限級数におけるアーベルの定理の逆が成り立つことを述べる。オーストリアの数学者アルフレッド・タウバーが1897年に示した^[2]。後に英国の数学者G. H. ハーディとJ. E. リトルウッドはタウバーの定理を原型とする種々の拡張を与え、それらをタウバー型定理と呼んだ^[3]。

導入

$\sum a n$ は $\sum \infty n =0 a n = l$ を満たす実数の級数とする。このとき、アーベルの定理によれば、 $f (x)= \sum \infty n =0 a n x n$ を収束半径1のベキ級数とすると、 $f (x)$ は $x \to 1 -$ で $f (x) \to l$ を満たす。また、クロネッカーによる定理^[4]によれば、 $n \to \infty$ で $1 / n \sum \infty k =0 ka k \to0$ が成り立つ。一方でアーベルの定理の逆は必ずしも成り立たない。すなわち、 $f (x)= \sum \infty n =0 a n x n$ を収束半径1のベキ級数としたときに、 $f (x)$ が $x \to 1 -$ で $f (x) \to l$ という条件を満たす、言い換えればアーベル総和可能であっても、 $\sum \infty n =0 a n$ は $l$ に収束するとは限らない。例えば、 $a n =(-1) n$ とすると、 $f (x)= \sum \infty n =0 a n x n = 1 / 1+ x$ は $lim x \to 1 - f (x)= 1 / 2$ であるが、 $\sum \infty n =0 (-1) n$ は収束しない。また、クロネッカーによる定理の逆についても同様であり、 $n \to \infty$ で $1 / n \sum \infty k =0 ka k \to0$ という条件が満たされても、 $\sum \infty n =0 a n$ は収束するとは限らない。しかしながら、タウバーの定理はアーベルの定理とクロネッカーによる定理の結果が同時に満たされているならば、逆に $\sum \infty n =0 a n = l$ が成り立つことを保証する。

定理の内容

級数 $\sum a n$ はアーベル総和可能、すなわち、収束半径1のベキ級数 $f (x)= \sum \infty n =0 a n x n$ が $x \to 1 -$ で $f (x) \to l$ を満たすとする。このとき、条件

(T 0)

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n}k{a_{k}}\to 0

が満たされるならば、

\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}=l

が成り立つ。この定理をタウバーの定理という。条件 $(T 0)$ は、

(T' 0)

\lim _{n\to \infty }na_{n}=0

に置き換えてもよい。

タウバー型定理

詳細は「タウバー型定理」を参照

タウバーの定理における条件 $(T 0)$ または $(T' 0)$ はアーベル総和可能でアーベル総和の値が $l$ となる級数が通常の意味で $l$ に収束する条件を与えている。より一般的に、総和法において、値 $l$ に総和可能な級数が $(T 0)$ や $(T' 0)$ のように $l$ に収束する条件をタウバー型条件と呼び、タウバー型条件を与える定理をタウバー型定理と呼ぶ。

タウバーの定理における条件 $(T' 0)$ はランダウの記号を用いると、

(T' 0)

a_{n}=o{\biggl (}{\frac {1}{n}}{\biggr )}

と表すことができる。1911年にJ. E. リトルウッドはこれをさらに弱い条件

(T 1)

a_{n}=O{\biggl (}{\frac {1}{n}}{\biggr )}

と置き換えることができることを示した^[5]。

さらにG. H. ハーディとJ. E. リトルウッドはこの条件を弱め、定数 $C$ が存在し

(T 2)

na_{n}\geq -C\quad (n=1,2,\cdots )

とすることができることを示した。

脚注

^ 石黒（1977）、第3章
^ A. Tauber, "Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen" , Monatshefte für Mathematik und Physik, 8 (1897), pp. 273–277. doi:10.1007/BF01696278
^ D. Choimet and H. Queffélec (2015), chapter.1
^ L. Kronecker, "Quelques remarques sur la détermination des valeurs moyennes", C.R.A.S. 103 (1887) pp.980–987
^ J. E. Littlewood, "The converse of Abel's theorem on power series", Proc. London Math. Soc. 9 (1911), pp. 434–448 doi:10.1112/plms/s2-9.1.434

参考文献

D. Choimet and H. Queffélec, Université de LilleTwelve Landmarks of Twentieth-Century Analysis, Cambridge University Press (2015) ISBN 978-1107650343
石黒一男『発散級数論』森北出版(1977) ISBN 978-4627031494

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