アーベル総和法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/07/19 03:25 UTC 版)
解析学において、アーベル総和法(アーベルそうわほう、英: Abel's summability method)とは、級数に対し、有限値を対応させる総和法の一つ[1][2]。ベキ級数におけるアーベルの定理に因む。
導入
複素数値の数列 {an} に対し、級数 ∑∞
n=0 an が値 l に収束するとは、部分和
が通常の数列の収束の意味で値 l に収束することで定義される。一方、総和法では、通常の収束の意味を超えて、より広い形での級数の収束を定義する。
例えば、an = (−1)nとするグランディ級数 ∑∞
n=0 (−1)nは
となり、通常の意味では収束しない。ここで、x を |x| < 1 を満たす複素数とし、xn を各項 an に収束因子として乗ずると、ベキ級数
は、|x| < 1 で
に一様収束する。このとき、左極限 x → 1− は収束し、
となり、級数 ∑∞
n=0 (−1)n に値 1/2 を対応させることができる。
定義
複素数値の数列 {an} に対し、ベキ級数
が |x| < 1 で収束し、左極限が
と有限値 s になるとき、値 s にアーベル総和可能 (Abel summable) といい、
もしくは
と記す[1][2]。また、このように {an} の級数を f(x) の左極限 x → 1− で定義する総和法をアーベル総和法と呼ぶ。
なお、f(x) は部分和
によって、
とも表すことができる。したがって、f(x) は部分和の列 {sn} に
を満たす因子 (1 − x)xn を乗じて、和を取っていることになる。
性質
アーベル総和法はチェザロ総和法より強い。すなわち、チェザロ総和可能な級数はアーベル総和可能である。より一般的に k>-1 について、(C, k)-総和可能であれば、アーベル総和可能である。
例
で定義される数列 {an} に対し、
は通常の意味では収束せず、またチェザロ総和法でも収束しない。一方でベキ級数
は |x| < 1 で収束し、
となることから1/4にアーベル総和可能である[3]。
拡張
(A, λn)-総和法
{λn} を
を満たす単調増加な数列とする。ここで級数
が任意の x > 0 について収束し、かつ左極限 x → +0 が存在し、
と有限値 s になるとき、級数 ∑∞
n=0 an は s に (A, λn)-総和可能という[1]。
特に λn = n の場合は、アーベル総和法に一致する。
(J, pn)-総和法
アーベル総和法において、ベキ級数 f(x) は部分和の列 {sn} によって、
と表すことができる。より一般に、数列 {pn} が
を満たし、{pn} によって定義されるベキ級数
が収束半径 r > 0 を持つとする。このとき、
が 0 ≤ x < r で収束し、かつ
が成り立つとき、値 s に (J, pn)-総和可能という[1]。
タウバー型定理
一般に級数はアーベル総和であっても、通常の意味では収束しない。すなわち、ベキ級数におけるアーベルの定理の逆は成り立たない。しかしながら、級数にある種の条件を付与すれば、アーベルの定理の逆が成り立つことがある。そのような例として、1897年にオーストリアの数学者アルフレッド・タウバーが示したタウバーの定理がある[4]。後に英国の数学者G. H. ハーディとJ. E. リトルウッドはタウバーの定理を原型とする種々の拡張を与え、それらをタウバー型定理と呼んだ[5]。
フーリエ級数の収束
アーベル総和法はフーリエ級数の収束の議論に応用される[3]。f(x) を長さ L=b −a の有界区間 (a, b) で定義されたリーマン積分可能な複素数値関数で、かつ f(a)=f(b) を満たす周期関数とする。このとき、f(x) は次の形のフーリエ級数展開を持つ。
第一式の右辺におけるフーリエ級数が意味を持つために収束性を考える必要がある。この級数はアーベル総和可能であり、f(x) が連続となる点においてf(x) に収束する。特に f(x) が連続関数であれば、フーリエ級数はアーベル総和の意味で一様収束する。すなわち、
を導入すると、この級数は 0 ≤ r <1 で収束し、かつ f(x) が連続となる点で左極限 r → 1 − は f(x) に一致する。この結果の議論はポアソン核
の性質に基づく。 (a, b) 上で可積分な関数g(x)、h(x) に対して、畳み込み積分を
で定義すると、
であり、総和核としてのポアソン核の性質から上述のアーベル総和に関する収束性が示される。
脚注
参考文献
- G. H. Hardy, Divergent Series , Clarendon Press (1949)
- Elias M. Stein and Rami Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction (Princeton Lectures in Analysis, Volume 1), Princeton Univ Prress (2003) ISBN 978-0691113845
- 石黒一男『発散級数論』森北出版 (1977) ISBN 978-4627031494
- 江沢洋『漸近解析(岩波講座 応用数学14)』岩波書店 (1995) ISBN 4000105248
関連項目
- アーベルの連続性定理
- ボレル総和法
- タウバー型定理
アーベル総和法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/03/12 02:28 UTC 版)
x を |x| < 1 を満たす実数とし、収束因子 xn をグランディ級数の各項 an = (−1)n に乗ずると、ベキ級数 f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n = 1 − x + x 2 + ⋯ {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}=1-x+x^{2}+\cdots } は、|x| < 1 で f ( x ) = 1 1 + x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x}}} に一様収束する。ここで、左極限をとれば、 lim x → 1 − f ( x ) = 1 2 {\displaystyle \lim _{x\to 1-}{f(x)}={\frac {1}{2}}} である。一般に |x| < 1 で収束するベキ級数 ∑∞n=0 anxn が lim x → 1 − ∑ n = 0 ∞ a n x n = S {\displaystyle \lim _{x\to 1-}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=S} を満たすとき、∑∞n=0 an は値 S にアーベル総和可能という。このアーベル総和法の定義に従えば、グランディ級数は S = 1/2 にアーベル総和可能である。
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