発散級数
(A, λn)-総和法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/21 19:38 UTC 版)
「アーベル総和法」の記事における「(A, λn)-総和法」の解説
{λn} を 0 ≤ λ 0 < λ 1 < ⋯ < λ n < ⋯ {\displaystyle 0\leq \lambda _{0}<\lambda _{1}<\cdots <\lambda _{n}<\cdots } を満たす単調増加な数列とする。ここで級数 f ( x ) = ∑ n=0 ∞ a n exp ( − λ n x ) {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\exp {(-\lambda _{n}x)}} が任意の x> 0 について収束し、かつ左極限 x → +0 が存在し、 lim x → + 0 f ( x ) = s {\displaystyle \lim _{x\to +0}f(x)=s} と有限値 s になるとき、級数 ∑∞n=0 an は s に (A, λn)-総和可能という。特に λn = n の場合は、アーベル総和法に一致する。
※この「(A, λn)-総和法」の解説は、「アーベル総和法」の解説の一部です。
「(A, λn)-総和法」を含む「アーベル総和法」の記事については、「アーベル総和法」の概要を参照ください。
(J, pn)-総和法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/21 19:38 UTC 版)
「アーベル総和法」の記事における「(J, pn)-総和法」の解説
アーベル総和法において、ベキ級数 f(x) は部分和の列 {sn} によって、 f ( x ) = ( 1 − x ) ∑ n = 0 ∞ s n x n = ∑ n = 0 ∞ s n x n ∑ n = 0 ∞ x n = ∑ n = 0 ∞ p n s n x n ∑ n = 0 ∞ p n x n ( p n = 1 ) {\displaystyle f(x)=(1-x)\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}s_{n}x^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}x^{n}}}\quad (p_{n}=1)} と表すことができる。より一般に、数列 {pn} が p n ≥ 0 , ∑ k = n ∞ p k > 0 {\displaystyle p_{n}\geq 0,\quad \sum _{k=n}^{\infty }p_{k}>0} を満たし、{pn} によって定義されるベキ級数 p ( x ) = ∑ n = 0 ∞ p n x n {\displaystyle p(x)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}x^{n}} が収束半径 r > 0 を持つとする。このとき、 p s ( x ) = ∑ n = 0 ∞ p n s n x n {\displaystyle p_{s}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}s_{n}x^{n}} が 0 ≤ x < r で収束し、かつ lim x → r − p s ( x ) p ( x ) = s {\displaystyle \lim _{x\to r-}{\frac {p_{s}(x)}{p(x)}}=s} が成り立つとき、値 s に (J, pn)-総和可能という。
※この「(J, pn)-総和法」の解説は、「アーベル総和法」の解説の一部です。
「(J, pn)-総和法」を含む「アーベル総和法」の記事については、「アーベル総和法」の概要を参照ください。
(C, α)-総和法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/19 07:00 UTC 版)
1890年、アーネスト・チェザロは非負の整数 n に対し (C, n)-総和法あるいはチェザロの n-次総和法などと呼ばれるチェザロ和の一般化について発表した。この枠組みでは (C, 0)-和は通常の意味の和に相当し、(C, 1)-和は上記のチェザロ和に相当する。高次のチェザロ総和法は次のように記述される。 まず、与えられた級数 Σan に対し、Anα を A n − 1 = a n ; A n α = ∑ k = 0 n A k α − 1 {\displaystyle A_{n}^{-1}=a_{n};\quad A_{n}^{\alpha }=\sum _{k=0}^{n}A_{k}^{\alpha -1}} と帰納的に定め、Enαを級数 1 + 0 + 0 + 0 + … に対する Anα となるように定義する。このとき、Σan の (C, α)-和とは、極限 lim n → ∞ A n α E n α {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {A_{n}^{\alpha }}{E_{n}^{\alpha }}}} が存在するとき、その極限をいう (Shawyer & Watson 1994, pp.16-17)。これは上で最初に述べた意味のチェザロ和を α 回繰り返し適用して得られることを表しており、 ( C , α ) − ∑ j = 0 ∞ a j = lim n → ∞ ∑ j = 0 n ( n j ) ( n + α j ) a j {\displaystyle (C,\alpha )-\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=0}^{n}{\frac {n \choose j}{n+\alpha \choose j}}a_{j}} のように書き直すことができる。もっと一般に、負の整数でない実数 α に対して、 Anα は以下の級数 ∑ n = 0 ∞ A n α x n = ∑ n = 0 ∞ a n x n ( 1 − x ) 1 + α {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }A_{n}^{\alpha }x^{n}={\frac {\displaystyle {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}}{(1-x)^{1+\alpha }}}} の係数として陰伏的に与えられるものとし、Enα は上と同様に定める。特に Enα は冪指数が −(1 + α) であるような二項係数として得られる。このとき、Σ an の (C, α)-和は上述と同様に商 Anα/Enα として定められる。 級数に (C,α)-和が存在すれば、それより高次のチェザロ和も存在することが言える。また、 α > −1 で (C,α)-和が存在すれば、an = o(nα) であることもわかる。
※この「(C, α)-総和法」の解説は、「チェザロ和」の解説の一部です。
「(C, α)-総和法」を含む「チェザロ和」の記事については、「チェザロ和」の概要を参照ください。
総和法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/09 16:01 UTC 版)
しばしば積分の離散版として総和（和分）を捉える事が行われる。たとえば無限個の数の相加平均を積分として「解釈」して定式化することができるし、ルベーグ積分の文脈では数え上げ測度に関する積分として実際に総和が現れる。
※この「総和法」の解説は、「積分法」の解説の一部です。
「総和法」を含む「積分法」の記事については、「積分法」の概要を参照ください。
- -総和法のページへのリンク
