有限体上の既約多項式での類似
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/12 06:05 UTC 版)
「素数定理」の記事における「有限体上の既約多項式での類似」の解説
有限体上の既約多項式の「分布」を記述する素数定理の類似がある。形式は古典的な素数定理の場合に全く同一に見える。 このことを詳しく述べるために、F = GF(q) を q 個の元を持つ有限体とし、ある固定された q に対し、Nn をモニックで既約な F 上の多項式で、次数が n となるものの数を表すとする。モニックな既約多項式とは、つまり、F の中に係数をもつ多項式と見て、小さな次数の積としては書くことができないような多項式とする。この設定では、モニックな既約多項式は、他の全てのモニックな多項式はモニックな既約多項式の積で書くことができるので、素数の役割を果たす。すると次のことを証明することができる。 N n ∼ q n n {\displaystyle N_{n}\sim {\frac {q^{n}}{n}}} x = qn を代入すると、この式の右辺は、 x log q x {\displaystyle {\frac {x}{\log _{q}x}}} であり、類似がより明白になる。qn は次数 n のモニックな既約多項式であるので、このことは次のように言い換えることができる。次数 n のモニック多項式をランダムに選ぶと、既約である確率は、約 1/n である。 リーマン予想の類似、すなわち、 N n = q n n + O ( q n 2 n ) {\displaystyle N_{n}={\frac {q^{n}}{n}}+O\left({\frac {q^{\tfrac {n}{2}}}{n}}\right)} が成り立つことを証明することができる。 多項式についての命題の証明は、古典的な（数についての）命題の証明に比較して、非常に易しい。短い組み合わせ的な議論により証明することができる。まとめると、F の次数 n の拡大の全ての元は、n を割る次数 d のある既約多項式の根であり、2つの方法でこれらの根の数を数え上げることにより、 q n = ∑ d ∣ n d N d {\displaystyle q^{n}=\sum _{d\mid n}dN_{d}} を成立させることができる。ここに和は n の因子 d の全てを渡る。よって、μ(k) をメビウス関数とすると、反転公式は、 N n = 1 n ∑ d ∣ n μ ( n d ) q d {\displaystyle N_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)q^{d}} である。（この公式をガウスは既に知っていた。）主要項は d = n であり、残余項の境界を示すことは難しくはない。多項式の「リーマン予想」の命題は、最大な n の n 未満の因子は n/2 よりも大きくはなり得ないという事実には依存しない。
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