有限体上の直交群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/11/12 19:31 UTC 版)
直交群は有限体 Fq 上にも定義できる。ここで q は素数 p の冪である。 標数が 2 でない体上では、 直交群は偶数次元では二つのタイプ O+(2n, q) と O−(2n, q)になり、奇数次元では、一つのタイプ O(2n + 1, q)になる。 V を直交群 G が作用するベクトル空間とすると、直交する部分空間の直和として、以下のように書ける。 V = L 1 ⊕ L 2 ⊕ ⋯ ⊕ L m ⊕ W , {\displaystyle V=L_{1}\oplus L_{2}\oplus \cdots \oplus L_{m}\oplus W,} ここで Li は双曲的直線で W は特異ベクトルを含まない。W が自明な部分空間 {0} のとき、G は + のタイプである。W が 1 次元のとき、G は奇数次元になる。W の次元が 2 のとき、G は − のタイプである。 とくに n = 1 である場合には、Oϵ(2, q) は位数 2(q − ϵ) の二面体群である。 O(n, q)の位数は、標数が2でないとき以下の式よって与えられる。 | O ( 2 n + 1 , q ) | = 2 q n ∏ i = 0 n − 1 ( q 2 n − q 2 i ) . {\displaystyle |\mathrm {O} (2n+1,q)|=2q^{n}\prod _{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i}).} −1 が Fqにおいて平方ならば | O ( 2 n , q ) | = 2 ( q n − 1 ) ∏ i = 1 n − 1 ( q 2 n − q 2 i ) . {\displaystyle |\mathrm {O} (2n,q)|=2(q^{n}-1)\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i}).} −1 が Fqにおいて平方でないならば | O ( 2 n , q ) | = 2 ( q n + ( − 1 ) n + 1 ) ∏ i = 1 n − 1 ( q 2 n − q 2 i ) . {\displaystyle |\mathrm {O} (2n,q)|=2(q^{n}+(-1)^{n+1})\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i}).}
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