有限全順序
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/23 09:23 UTC 版)
単に要素の数を勘定する（英語版）ことにより、任意の空でない有限全順序集合が（従ってその任意の空でない部分集合が）最小元を持つことが確定する。すなわち、任意の有限全順序は整列順序である。任意の有限全順序が、通常の大小関係 < で順序付けられた自然数全体の成す集合 N の何れかの始片（英語版）に順序同型なることは、直接証明することもできるし、任意の整列順序が何れかの順序数に順序同型なることを見ても分かる。言い換えれば、k-元集合上の全順序は、自然数の最初の k個からなる全順序から誘導される。従って、有限全順序または順序型 ω を持つ整列順序は、順序の観点からは自然数（0 から始まるか 1 から始まるかは問わず）で付番するのが普通である。
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