アダマール積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/21 20:29 UTC 版)
数学におけるアダマール積（英: Hadamard product）は、同じサイズの行列に対して成分ごとに積を取ることによって定まる行列の積である。要素ごとの積（英: element-wise product）、シューア積（英: Schur product）、点ごとの積（英: pointwise product）、成分ごとの積（英: entrywise product）などとも呼ばれる。
- 1 アダマール積とは
- 2 アダマール積の概要
- 3 性質
- 4 シューア積定理
アダマール積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/11 13:57 UTC 版)
詳細は「アダマール積」を参照 同じサイズの二つの行列に対し、アダマール積（英: Hadamard product）、要素ごとの積（英: element-wise product）、点ごとの積（英: pointwise product）、成分ごとの積（英: entrywise product）あるいはシューア積（英: Schur product）などと呼ばれる積を定義することができる。同じサイズの二つの行列 A, B のアダマール積 A ○ B はもとと同じサイズの行列で、その (i, j)-成分は A の (i, j)-成分と B の (i, j)-成分との積で与えられる。つまり、 A ∘ B = ( a i j b i j ) {\displaystyle A\circ B=(a_{ij}b_{ij})} 全部書けば、 [ a 11 a 12 ⋯ a 1 m a 21 a 22 ⋯ a 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n m ] ∘ [ b 11 b 12 ⋯ b 1 m b 21 b 22 ⋯ b 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n m ] = [ a 11 b 11 a 12 b 12 ⋯ a 1 m b 1 m a 21 b 21 a 22 b 22 ⋯ a 2 m b 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 b n 1 a n 2 b n 2 ⋯ a n m b n m ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nm}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1m}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{nm}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{12}b_{12}&\cdots &a_{1m}b_{1m}\\a_{21}b_{21}&a_{22}b_{22}&\cdots &a_{2m}b_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}b_{n1}&a_{n2}b_{n2}&\cdots &a_{nm}b_{nm}\end{bmatrix}}\ } この演算は（mn 個ある各成分において）通常の数の積を一斉に行うことに他ならない。故にアダマール積は可換、結合的、かつ成分ごとの和に対して分配的になる。これはまた、クロネッカー積の主小行列でもある。
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アダマール積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:14 UTC 版)
「リーマンのクシー関数」の記事における「アダマール積」の解説
単純な無限積展開は Ξ ( s ) = Ξ ( 0 ) ∏ ρ ( 1 − s ρ ) , {\displaystyle \Xi (s)=\Xi (0)\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right),\!} ただし ρ は ξ の根を走る。 展開の収束を保証するには、積は零点の "matching pairs" 上でとられなければならない、すなわち ρ と 1 − ρ の形の零点のペアの因子は一緒にグループされなければならない。
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