エルミートの無限積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/01 05:45 UTC 版)
「三角関数の公式の一覧」の記事における「エルミートの無限積」の解説
シャルル・エルミートは、複素関数に関する以下の式を示した。 複素数 a1, ..., an は、どの2つをとってもその差がπの整数倍にならないものとする。 A n , k = ∏ 1 ≤ j ≤ n j ≠ k cot ( a k − a j ) {\displaystyle A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\cot(a_{k}-a_{j})} と置く（A1,1 のときこの値は1とする）と、以下の式が成り立つ。 cot ( z − a 1 ) ⋯ cot ( z − a n ) = cos n π 2 + ∑ k = 1 n A n , k cot ( z − a k ) . {\displaystyle \cot(z-a_{1})\cdots \cot(z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\cot(z-a_{k}).} 自明でない単純な例として、n = 2 のときの例をあげる。 cot ( z − a 1 ) cot ( z − a 2 ) = − 1 + cot ( a 1 − a 2 ) cot ( z − a 1 ) + cot ( a 2 − a 1 ) cot ( z − a 2 ) {\displaystyle \cot(z-a_{1})\cot(z-a_{2})=-1+\cot(a_{1}-a_{2})\cot(z-a_{1})+\cot(a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2})}
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