直積分の定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「直積分の定義」の解説
直積分の概念を定式化するため、「切断」の概念を導入する： 定義 (ヒルベルト空間の族の切断) ― X⊂Rを可測な集合とし、 ( H λ ) λ ∈ X {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\lambda })_{\lambda \in X}} を（有限次元または無限次元の可分な）ヒルベルト空間の族とし、 H λ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda }} 上の内積を ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ λ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\lambda }} と書き表す。さらにμをσ-有限（英語版）なX上の測度とする。 s = ( s ( λ ) ) λ ∈ X {\displaystyle s=(s(\lambda ))_{\lambda \in X}} で ∀ λ ∈ X : s ( λ ) ∈ H λ {\displaystyle \forall \lambda \in X~:~s(\lambda )\in {\mathcal {H}}_{\lambda }} を満たすもので、「可測」（詳細後述）なものを ( H λ ) λ ∈ X {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\lambda })_{\lambda \in X}} の切断(section)と呼ぶ。 さらに２つの切断 s = ( s ( λ ) ) λ ∈ X {\displaystyle s=(s(\lambda ))_{\lambda \in X}} 、 t = ( t ( λ ) ) λ ∈ X {\displaystyle t=(t(\lambda ))_{\lambda \in X}} に対し、sとtの内積を ⟨ s , t ⟩ := ∫ X ⟨ s ( λ ) , t ( λ ) ⟩ d μ {\displaystyle \langle s,t\rangle :=\int _{X}\langle s(\lambda ),t(\lambda )\rangle \mathrm {d} \mu } により定義することができる。 定義 (直積分) ― 自分自身との内積 ⟨ s , s ⟩ {\displaystyle \langle s,s\rangle } が有限になる切断全体のなすベクトル空間を考え、このベクトル空間を測度μに関してほとんど至る所等しい切断を同一視する事で得られるベクトル空間を ∫ X ⊕ H λ d μ {\displaystyle \int _{X}^{\oplus }{\mathcal {H}}_{\lambda }\mathrm {d} \mu } と表記し、 ( H λ ) λ ∈ X {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\lambda })_{\lambda \in X}} のμによる直積分（英語版）と呼ぶH13(p144-147)。 直積分は前述した内積に関して完備であることが知られており、よって直積分はヒルベルト空間になるH13(p144-147)。
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