有限射の性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/17 03:22 UTC 版)
2つの有限射の合成は有限射である。 有限射 f: X → Y の基底変換（英語版）は有限射である。つまり、g: Z → Y をスキームの任意の射とすると、自然な射 X ×Y Z → Z 有限は有限射である。これは次の代数的な事実に対応している。A と C を（可換）B 代数とし、A が B 加群として有限生成とすると、テンソル積 A ⊗B C は C 加群として有限生成である。実際、ai を A の B 加群としての生成元とすると、ai ⊗ 1 が A ⊗B C の C 加群としての生成元になる。 閉埋入（英語版）は有限である。閉埋入は、局所的に環 A と閉部分スキームに対応するイデアル I を用いて A → A/I とかけるからである。 有限射は閉である。したがって、有限射の基底変換は有限射であることに注意すると、有限射は固有である。これは可換環論のコーエン・ザイデンベルクの上昇定理の帰結である。 有限射のファイバーは有限集合である。したがって、有限射は準有限射である。これは、体 k に対して任意の有限 k 代数はアルティン環であることから分かる。また、これと関連することとして、有限な全射 f: X → Y があると、X と Y は同じ次元を持つ。 スキームの射が有限であるのは、固有かつ準有限であるとき、かつそのときに限る（ドリーニュ）。これは、射 f: X → Y が局所的に有限表示（英語版）であるとき（Y がネーターであるときは、これは他の仮定から従う）はグロタンディークによって示されていた。 有限射は射影的かつアフィン（英語版）である。
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