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準有限射

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/31 00:00 UTC 版)

数学の1分野である代数幾何学において、スキームの射 f : X → Y が準有限（じゅんゆうげん、英: quasi-finite）であるとは、有限型（英語版）かつ以下の同値な条件をいずれか１つ、したがって全てを満たすことを言う^[1]。

X の全ての点 x はファイバー f⁻¹(f(x)) の中で孤立している。言い換えれば、全てのファイバーは離散集合（したがって有限集合）である。

X の全ての点 x に対して、スキーム f⁻¹(f(x)) = X ×_YSpec κ(f(x)) は有限 κ(f(x)) スキームである。ここで、κ(p) は点 p での剰余体である。

X の全ての点 x に対して、 ${\mathcal {O}}_{X,x}\otimes \kappa (f(x))$ は $\kappa (f(x))$ 上有限生成である。

準有限射はアレクサンドル・グロタンディークにより SGA 1 の中で初めて定義されたが、そのときは有限型という仮定はついていなかった。この仮定は、のちに EGA II 6.2 で定義されたときに、準有限性を茎を使って代数的に特徴づけるために追加された。

スキームの射 f : X → Y と X の点 x に対して、f が x で準有限とは、x の開アフィン近傍 U と f(x) の開アフィン近傍 V が存在して、f(U) が V に含まれ、制限 f : U → V が準有限であることを言う。f が局所的に準有限（locally quasi-finite）とは、X の全ての点で準有限であることを言う^[2]。準コンパクトかつ局所的に準有限な射は準有限射である。

性質

f を射とすると、以下が成り立つ^[3]。

f が準有限なら、被約スキームの間に誘導された射 f_red も準有限である。

f が閉埋入（英語版）なら f は準有限である。

X がネーターで f がはめ込み（immersion）なら f は準有限である。

射 g : Y → Z に対し、g ∘ f が準有限で、さらに以下のいずれかが満たされるなら、f は準有限である。
1. g は分離射
2. X はネーター
3. X ×_Z Y は局所ネーター

準有限性は基底変換で保たれる。準有限射の合成やファイバー積は準有限である^[3]。f が点 x で不分岐なら、f は x で準有限である。逆に、f が x で準有限で、ファイバー f⁻¹(f(x)) での x の局所環 ${\mathcal {O}}_{f^{-1}(f(x)),x}$ が体でしかも κ(f(x)) の有限次分離拡大になっているなら、f は x で不分岐である^[4]。

有限射は準有限である^[5]。局所的に有限表示な準有限固有射は有限である^[6]。実は、射が有限であるのは固有かつ準有限のとき、かつそのときに限る（ドリーニュ）。

一般化されたザリスキの主定理（英語版）（Zariski's main theorem）とは次の主張である^[7]。Y を準コンパクトかつ準分離的、f を準有限かつ分離的かつ有限表示とする。このとき、f は $X\hookrightarrow X'\to Y$ と分解する。ここで、最初の射は開埋入で、次の射は有限射である。つまり、X は Y 上有限なスキームの開集合である。