準正則元とは - わかりやすく解説 Weblio辞書

準正則元

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/27 01:50 UTC 版)

数学、特に環論において、準正則性 (quasiregularity) の概念は環のジャコブソン根基で研究するための計算的に便利な方法を提供してくれる^[1]。直感的には、準正則性は環の元が「悪い」、つまり、望ましくない性質をもっているとはどういうことかを捉える^[2]。「悪い元」は準正則である必要があるが、準正則元はかなりあいまいな意味で「悪い」必要はない。この記事においては、主として単位的環に対して準正則性の概念を考える。しかしながら、一節は非単位的環における準正則性の理論に割かれる。これは非可換環論の重要な側面を構成する。

脚注

^ ^a ^b ^c ^d Isaacs, p. 180
^ Isaacs, p. 179
^ ^a ^b Lam, Ex. 4.2.
^ Polcino & Sehgal (2002), p. 298.
^ Lam, Ex. 4.1.
^ 0 が乗法単位元なので、 $x*y=0=y'*x$ であれば、 $y=(y'*x)*y=y'*(x*y)=y'$ である。準正則性は環が乗法単位元をもつことを要求しない。
^ Kaplansky, p. 85
^ Lam, Ex. 4.2 の後のコメント参照。Jacobson, "Structure of Rings" (Colloquium Publications) AMS.
^ ^a ^b Lam, Ex. 4.2 の後のコメント
^ Lam, Ex. 4.4 の証明参照。
^ " $\circ$ による定義"であれば、「 $- x 2$ が右（resp. 左）準正則であれば、 $\pm x$ は右（resp. 左）準正則である」となる。Kaplansky, p. 108
^ Lam, Ex. 4.2.(2)
^ " $\circ$ による定義"では、この事実はまた初歩的な計算によって確認される。すなわち、 $x n + 1 = 0$ であれば、 $(1+x)(1-x+x^{2}-x^{3}+...+(-x)^{n})=1.$
^ Isaacs, Theorem 13.4(a), p. 180
^ Isaacs, Theorem 13.4(b), p. 180
^ Isaacs, Corollary 13.7, p. 181
^ Isaacs, p. 181
^ Isaacs, Corollary 13.5, p. 181
^ Isaacs, Corollary 13.6, p. 181
^ ^a ^b ^c Jonathan S. Golan (30 June 2003). Semirings and Affine Equations over Them. Springer Science & Business Media. pp. 157–159 and 164–165. ISBN 978-1-4020-1358-4
^ ^a ^b ^c Marc Pouly; Jürg Kohlas (2011). Generic Inference: A Unifying Theory for Automated Reasoning. John Wiley & Sons. pp. 232 and 248–249. ISBN 978-1-118-01086-0
^ Lehmann, D. J. (1977). “Algebraic structures for transitive closure”. Theoretical Computer Science 4: 59. doi:10.1016/0304-3975(77)90056-1.
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