環の中心

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中心 (代数学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/03/19 09:14 UTC 版)

数学の分野である代数学において、多元環や群などの中心 (英: center, 独: Zentrum) は考えている構造の部分集合であって、乗法に関してすべての元と交換する元全体からなる。

群の中心

を群とすると、その中心は集合

である。

性質

の中心は部分群である。なぜならば、 と を の元とすると、任意の に対して、

なので、 を中心に入る。同様にして、 も中心に入る。

.

群の単位元 は常に中心に入る。.

中心はアーベル群で の正規部分群である。 の特性部分群でもある、つまりすべての自己同型で不変である。中心は強特性 (strictly characteristic) でさえある、つまりすべての全射自己準同型で不変である。 がアーベル群であることと は同値である。

中心はちょうど、 による共役、すなわち が恒等写像であるような、 の元 からなる。したがって中心を中心化群の特別な場合としても定義できる。 である。

例

• 3次対称群 の中心は単位元 のみからなる、なぜならば：

• 二面体群 は正方形が全く動かないような平面の動きからなる。それは正方形の中心を中心とする角度 0°, 90°, 180°, 270°の回転と、2つの対角線および正方形の平行する辺の中点を通る2つの直線による4つの鏡映からなる。この群の中心はちょうど 0°と 180°の2つの回転からなる。
• 実数を成分に持つ可逆 n×n-行列の乗法群の中心は単位行列の（0 でない）実数倍からなる。

環の中心

環 R の中心は環の元であってすべての元と交換するものからなる。

中心 は R の可換な部分環である。環が中心と等しいことと可換であることは同値である。

結合多元環の中心

結合多元環 A の中心は可換な部分多元環

である。多元環がその中心と等しいことと可換であることは同値である。

リー代数の中心

定義

リー代数 の中心は（可換な）イデアル

である。ただし はブラケット積、つまり の積を表す。リー代数がその中心に等しいことと可換であることは同値である。

例

• 一般線型群 の中心は単位行列 のスカラー倍からなる。

.

• 交換子をブラケット積とする結合多元環に対して2つの中心の概念は一致する。

参考文献

• Kurt Meyberg: Algebra - Teil 1. Hanser 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 36

外部リンク

• Zentrum einer Gruppe in der Encyclopaedia of Mathematics (engl.)
• Zentrum eines Rings in der Encyclopaedia of Mathematics (engl.)
• [http://planetmath.org/encyclopedia/Center10.html Zentrum in verschiedenen algebraischen Strukturen bei PlanetMath (engl.)