環のスペクトル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/10/06 20:26 UTC 版)
抽象代数学と代数幾何学において，可換環 R のスペクトル Spec(R) とは，R のすべての素イデアルからなる集合である．通常ザリスキー位相と構造層をともに考え，それにより Spec(R) は局所環付き空間である．この形の局所環付き空間はアフィンスキームと呼ばれる．
ザリスキー位相
可換環 R の任意のイデアル I に対し，VI を I を含む素イデアルの全体と定義する．この形の集合を閉集合と定義することで Spec(R) に位相を入れることができる．この位相をザリスキー位相と呼ぶ．
ザリスキー位相の基底を次のように構成できる．f ∈ R に対し，Df を f を含まない R の素イデアル全体と定義する．すると各 Df は Spec(R) の開集合であり，この形の開集合の全体はザリスキー位相の基底である．
Spec(R) は準コンパクトであるが，ほとんど決してハウスドルフではない．実際，R の極大イデアルがちょうどこの位相での閉点である．同じ理由により，Spec(R) は一般には T1 空間ではない[注釈 1]．しかしながら，Spec(R) は必ず T0 空間である．また，スペクトル空間でもある．
層とスキーム
ザリスキー位相を持った空間 X = Spec(R) が与えられると，その構造層 OX が開集合 Df 上 Γ(Df, OX) を R の f における局所化 Rf とすることで定義される．これは B 層を定義し，したがって層を定義することを示すことができる．より詳しくは，開集合 Df たちはザリスキー位相の基底であるので，任意の開集合 U に対し，これを {Dfi}i∈I の和集合として表し，Γ(U, OX) = limi∈I Rfi とおく．この前層は層であることを確認でき，したがって Spec(R) は環付き空間である．この形の環付き空間に同型なものはアフィンスキームと呼ばれる[要検証]．一般のスキームはアフィンスキームを貼り合わせて得られる．
同様に，環 R 上の加群 M に対して，Spec(R) 上の層 
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環のスペクトル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/24 04:50 UTC 版)
可換環 A に対して、 A の素イデアルの全体の集合 Spec(A) は A のスペクトルとよばれる。A の部分集合 M に対し V ( M ) = { p ∈ Spec ( A ) : M ⊂ p } {\displaystyle V(M)=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} (A):M\subset {\mathfrak {p}}\}} とおくと、{V(M) : M ⊂ A } は Spec(A) 上の閉集合系の公理を満たす。これによって定まる位相はザリスキー位相とよばれる。A の元 f に対して D ( f ) = { p ∈ Spec ( A ) : f ∉ p } {\displaystyle D(f)=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} (A):f\notin {\mathfrak {p}}\}} とおくと、{D(f) : f ∈ A} は Spec(A) の開集合の生成基となる。fの形式的逆を付け加えて局所化した環 A[1/f] のスペクトルは D(f) と同相になる。
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