環と多元環
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/20 19:46 UTC 版)
単位元を持つ結合的 K-多元環の定義は、しばしば別なやり方で与えられる。この場合の体 K 上の多元環とは、環 A であって、その像が中心に含まれている環準同型 η A : K → A {\displaystyle \eta _{A}\colon K\to A} を備えるものを言う。ηA が体上定義された環準同型であるということは、A は自明環かさもなくば ηA は単射である。この定義は、スカラー乗法を K × A → A ; ( k , a ) ↦ k a := η A ( k ) a {\displaystyle K\times A\to A;\quad (k,a)\mapsto ka:=\eta _{A}(k)a} で定めて、定義節で与えた定義と同値になることが確かめられる。このようにして二つの単位的 K-結合多元環が与えられたとき、単位的 K-多元環準同型 f: A → B とは、環準同型であってさらにスカラー乗法と可換、すなわち K の各元 k と A の各元に対して f ( k a ) = k f ( a ) {\displaystyle f(ka)=kf(a)} を満たすものを言う。言い換えれば、図式 K η A ↙ ↘ η B A ⟶ f B {\displaystyle {\begin{matrix}K\\{}^{\eta _{A}}\!\!\swarrow \quad \searrow \!\!^{\eta _{B}}\\A\quad {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\quad B\end{matrix}}} を可換にする環準同型 f を多元環の準同型と呼ぶのである。
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