環の他の性質との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/08/17 13:58 UTC 版)
「零化イデアル」の記事における「環の他の性質との関係」の解説
零化イデアルは左 Rickart 環（英語版） や Baer 環（英語版） を定義するのに使われる。 S の（左）零因子の集合 DS は次のように書ける。 D S = ⋃ x ∈ S , x ≠ 0 A n n R ( x ) . {\displaystyle D_{S}=\bigcup _{x\in S,\,x\neq 0}{\mathrm {Ann} _{R}\,(x)}.} （0 は零因子と考えている。） とくに、S = R ととって、R をそれ自身に左 R 加群として作用させることで、DR は R の（左）零因子の集合である。 R が可換ネーター環のとき、集合 DR はちょうど R の素因子の和集合に等しい。 有限次元多元環 A が準フロベニウスである必要十分条件はすべての左イデアル I と右イデアル J に対して ℓ A ( r A ( I ) ) = I , r A ( ℓ A ( J ) ) = J {\displaystyle \ell _{A}\left(r_{A}\left(I\right)\right)=I,\qquad r_{A}\left(\ell _{A}\left(J\right)\right)=J} が成り立つことである。
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