群環の中心
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/18 04:29 UTC 版)
「類函数」も参照 環 K[G] の積の定義の仕方から、その環としての中心は G 上で定義されたK-値類函数（つまり、G の各共軛類上で定数となる函数）の全体に一致する。これは配置集合 KG の部分線型空間で、各共軛類 c ∊ C の指示函数の族 (1c)c∊C を標準基底に持つ（これらの指示函数は KG の標準基底によって1c = ∑s∊cδs と分解できる）。 また、KG 上の非退化な対称双線型形式（内積）を ( f ∣ h ) = 1 g ∑ s ∈ G f ( s ) h ( s − 1 ) {\displaystyle (f\mid h)={\frac {1}{g}}\sum _{s\in G}f(s)h(s^{-1})} で定義することができる。 既約指標の全体はこの類函数の空間の正規直交基底を成す これにより、（この部分空間の次元を考えて） 既約表現の（同型類の）総数は、群の共軛類の数 h に等しい ゆえに、群 G の K 上の既約表現 (S1, ρ1), … (Sh, ρh) が（同型を除いて）存在して、それらの指標 χ1, …, χh が群環 K[G] の中心の基底を成す。
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