解析学的定義との対応
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/22 01:41 UTC 版)
係数環 R が可換環であるときには、形式微分の上記定義と同値な（そして微分積分学で見るものとよく似た）別定義をあたえることができる。二変数多項式環 R[X, Y] において、その元 Y – X は、任意の自然数 n に対する二項式 Yn – Xn を整除するから、したがって任意の一変数多項式 f に対する f(Y) – f(X) も整除する。そのときの商を g と書けば、つまり g ( X , Y ) := f ( Y ) − f ( X ) Y − X ( ∈ R [ X , Y ] ) {\displaystyle g(X,Y):={\frac {f(Y)-f(X)}{Y-X}}\quad (\in R[X,Y])} と置けば、Y = X とした g(X, X) ∈ R[X] が f の（上で定義した）形式微分に一致することを見るのは難しくない。 いま見たような形式微分の定式化は、係数環が可換である限りにおいて、形式冪級数に対しても同じく適用できる。 実用においては、本節における定義は f として X において連続な Y の函数のクラスで行えば古典的な通常の微分の概念の捉え直しになるものである。さらに強く X, Y 両方に関して（多変数連続性の意味で）連続な函数のクラスで適用すれば、一様可微分性の概念が得られ、また f は連続的微分可能となる。同様にほかのクラスの函数（例えばリプシッツ函数のクラス）をとることにより、異なる毛色の可微分性概念を作ることができる。このように得られる微分法は、函数環の理論の一部を成すものである。
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