解析幾何学による証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/29 18:17 UTC 版)
三角形OABにおいて、辺ABの中点Mを原点に取り、辺ABをX軸上に取ると、 M ( 0 , 0 ) , A ( − a , 0 ) , B ( a , 0 ) {\displaystyle M(0,0),\ A(-a,0),\ B(a,0)} と置くことができる。 ここで、頂点Oの座標を (b, c) とすると、 O A 2 = ( b + a ) 2 + c 2 , O B 2 = ( b − a ) 2 + c 2 . {\displaystyle OA^{2}=(b+a)^{2}+c^{2},\ OB^{2}=(b-a)^{2}+c^{2}.} したがって、辺々を加えると、 O A 2 + O B 2 = 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) . {\displaystyle OA^{2}+OB^{2}=2(a^{2}+b^{2}+c^{2}).} いっぽう、 O M 2 = b 2 + c 2 , A M 2 = a 2 . {\displaystyle OM^{2}=b^{2}+c^{2},\ AM^{2}=a^{2}.} したがって、 O A 2 + O B 2 = 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) = 2 ( O M 2 + A M 2 ) . {\displaystyle OA^{2}+OB^{2}=2(a^{2}+b^{2}+c^{2})=2\left(OM^{2}+AM^{2}\right).} Q.E.D.
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