解析学的な解とは? わかりやすく解説

解析学的な解

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/12/16 23:21 UTC 版)

ゴムロープの上のアリ」の記事における「解析学的な解」の解説

任意の時刻 t > 0 {\displaystyle t>0} でのアリ位置を y ( t ) {\displaystyle y(t)} とする。また、ロープ伸長速度アリロープ対す相対速度時間依存してもよいこととし、それらを α ( t ) {\displaystyle \alpha (t)} , v ( t ) {\displaystyle v(t)} とおく。ロープ時刻0から伸びた距離は L ( t ) := ∫ 0 t v ( s ) d s {\displaystyle L(t):=\int _{0}^{t}v(s)\,ds} である。位置 x = X {\displaystyle x=X} におけるロープ自体伸長速度は、原点からの距離に比例するため v ( t ) X c + L ( t ) {\displaystyle {\frac {v(t)X}{c+L(t)}}} と表せる。 以上の設定で、次の微分方程式成り立つ。 y ′ ( t ) = α ( t ) + v ( t ) y ( t ) c + L ( t ) {\displaystyle y'(t)=\alpha (t)+{\frac {v(t)\,y(t)}{c+L(t)}}} 元のパズルでは α {\displaystyle \alpha } , v {\displaystyle v} が一定値だから、 y ′ ( t ) = α + v y ( t ) c + v t {\displaystyle y'(t)=\alpha +{\frac {v\,y(t)}{c+vt}}} これは1階線形微分方程式なので、標準的な解法がある(特解(この場合例えば y 0 ( t ) = α v ( c + v t ) ln ⁡ ( c + v t ) {\displaystyle y_{0}(t)={\frac {\alpha }{v}}(c+vt)\ln(c+vt)} )を見つけ、定数項を0とした斉次方程式一般解変数分離法求めればよい。詳しく微分方程式の項を参照)。 しかしそれよりずっと簡単なのは、アリ位置原点から目標地点までの距離との比として考えることである。 ロープに貼りついて一緒に伸びるような座標(系) ψ {\displaystyle \psi } を考えよう原点目標地点それぞれ ψ = 0 {\displaystyle \psi =0} , ψ = 1 {\displaystyle \psi =1} とする。この座標測ると、ロープ上の任意の点の位置時間経って一定値のままである時刻 t ≥ 0 {\displaystyle t\geq 0} において元の座標系での点 x = X {\displaystyle x=X} は新し座標系では ψ = X c + v t {\displaystyle \psi ={\frac {X}{c+vt}}} になり、元の座標系でのロープ対す相対速度 α {\displaystyle \alpha } は新し座標系では α c + v t {\displaystyle {\frac {\alpha }{c+vt}}} になる。 よってアリ位置座標を ϕ ( t ) {\displaystyle \phi (t)} と書けば、次の微分方程式得られる(これは数学的に見れば変数変換 ϕ ( t ) := y ( t ) c + v t {\displaystyle \phi (t):={\frac {y(t)}{c+vt}}} である): ϕ ′ ( t ) = α c + v t {\displaystyle \phi '(t)={\frac {\alpha }{c+vt}}} ∴ ϕ ( t ) = ∫ 0 t α c + v s d s = α v ln ⁡ ( c + v t c ) {\displaystyle \therefore \phi (t)=\int _{0}^{t}{\frac {\alpha }{c+vs}}\,ds={\frac {\alpha }{v}}\ln {\left({\frac {c+vt}{c}}\right)}} アリ時刻 t = T {\displaystyle t=T} で目標地点到達するとすれば ϕ ( T ) = 1 {\displaystyle \phi (T)=1} だから、 α v ln ⁡ ( c + v T c ) = 1 {\displaystyle {\frac {\alpha }{v}}\ln {\left({\frac {c+vT}{c}}\right)}=1} ∴ T = c v ( e v / α − 1 ) {\displaystyle \therefore T={\frac {c}{v}}\left(e^{v/\alpha }-1\right)} (単純なケース v = 0 {\displaystyle v=0} に対しても、極限 lim v → 0 T ( v ) {\displaystyle \lim _{v\rightarrow 0}T(v)} をとれば解 T = c α {\displaystyle T={\tfrac {c}{\alpha }}} が得られる)。任意の c {\displaystyle c} , v {\displaystyle v} , α {\displaystyle \alpha } ( v > 0 {\displaystyle v>0} , α > 0 {\displaystyle \alpha >0} ) に対し T {\displaystyle T} は有限値だから、アリ目標地点までの行程完遂できること、及びその所要時間分かったことになる。 最初に掲げた問題では c = 1 k m {\displaystyle c=1\,\mathrm {km} } , v = 1 k m / s {\displaystyle v=1\,\mathrm {km} /\mathrm {s} } , α = 1 c m / s {\displaystyle \alpha =1\,\mathrm {cm} /\mathrm {s} } であったので T = ( e 100 , 000 − 1 ) s ≈ 2.8 × 10 43 , 429 s {\displaystyle T=(e^{100,000}-1)\,\mathrm {s} \,\!\approx 2.8\times 10^{43,429}\,\mathrm {s} } となり、これは宇宙の年齢とはいえ約 4×1017s に過ぎないが)にも匹敵する長大な時間で、またロープ同じよう途轍もない長さになっているアリが端に辿り着けるというのは、あくまで数学的な意味でである。 一方ロープアリ速度一定ない場合結論変わってくる。例えば α ( t ) {\displaystyle \alpha (t)} を正の定数、 v ( t ) = 2 a t {\displaystyle v(t)=2at} ( a > 0 {\displaystyle a>0} は定数)とすると、微分方程式及びその解は次のうになる。 ϕ ′ ( t ) = α c + a t 2 {\displaystyle \phi '(t)={\frac {\alpha }{c+at^{2}}}} ∴ ϕ ( t ) = ∫ 0 t α c + a s 2 d s = α a c arctan ⁡ ( a c t ) {\displaystyle \therefore \phi (t)=\int _{0}^{t}{\frac {\alpha }{c+as^{2}}}\,ds={\frac {\alpha }{\sqrt {ac}}}\arctan \left({\sqrt {\frac {a}{c}}}t\right)} ϕ ( t ) → π α 2 a c ( t → ∞ ) {\displaystyle \phi (t)\to {\frac {\pi \alpha }{2{\sqrt {ac}}}}\quad (t\to \infty )} これより、 a < π 2 α 2 4 c {\displaystyle a<{\frac {{\pi }^{2}{\alpha }^{2}}{4c}}} であればアリロープの端に到達できるが、 a ≥ π 2 α 2 4 c {\displaystyle a\geq {\frac {{\pi }^{2}{\alpha }^{2}}{4c}}} のときは永遠に到達できないことがわかる。

※この「解析学的な解」の解説は、「ゴムロープの上のアリ」の解説の一部です。
「解析学的な解」を含む「ゴムロープの上のアリ」の記事については、「ゴムロープの上のアリ」の概要を参照ください。

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