解析学的な解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/16 23:21 UTC 版)
「ゴムロープの上のアリ」の記事における「解析学的な解」の解説
任意の時刻 t > 0 {\displaystyle t>0} でのアリの位置を y ( t ) {\displaystyle y(t)} とする。また、ロープの伸長速度、アリのロープに対する相対速度は時間に依存してもよいこととし、それらを α ( t ) {\displaystyle \alpha (t)} , v ( t ) {\displaystyle v(t)} とおく。ロープが時刻0から伸びた距離は L ( t ) := ∫ 0 t v ( s ) d s {\displaystyle L(t):=\int _{0}^{t}v(s)\,ds} である。位置 x = X {\displaystyle x=X} におけるロープ自体の伸長速度は、原点からの距離に比例するため v ( t ) X c + L ( t ) {\displaystyle {\frac {v(t)X}{c+L(t)}}} と表せる。 以上の設定で、次の微分方程式が成り立つ。 y ′ ( t ) = α ( t ) + v ( t ) y ( t ) c + L ( t ) {\displaystyle y'(t)=\alpha (t)+{\frac {v(t)\,y(t)}{c+L(t)}}} 元のパズルでは α {\displaystyle \alpha } , v {\displaystyle v} が一定値だから、 y ′ ( t ) = α + v y ( t ) c + v t {\displaystyle y'(t)=\alpha +{\frac {v\,y(t)}{c+vt}}} これは1階線形微分方程式なので、標準的な解法がある（特解（この場合は例えば y 0 ( t ) = α v ( c + v t ) ln ( c + v t ) {\displaystyle y_{0}(t)={\frac {\alpha }{v}}(c+vt)\ln(c+vt)} ）を見つけ、定数項を0とした斉次方程式の一般解を変数分離法で求めればよい。詳しくは微分方程式の項を参照）。 しかしそれよりずっと簡単なのは、アリの位置を原点から目標地点までの距離との比として考えることである。 ロープに貼りついて一緒に伸びるような座標（系） ψ {\displaystyle \psi } を考えよう。原点と目標地点をそれぞれ ψ = 0 {\displaystyle \psi =0} , ψ = 1 {\displaystyle \psi =1} とする。この座標で測ると、ロープ上の任意の点の位置は時間が経っても一定値のままである。 時刻 t ≥ 0 {\displaystyle t\geq 0} において元の座標系での点 x = X {\displaystyle x=X} は新しい座標系では ψ = X c + v t {\displaystyle \psi ={\frac {X}{c+vt}}} になり、元の座標系でのロープに対する相対速度 α {\displaystyle \alpha } は新しい座標系では α c + v t {\displaystyle {\frac {\alpha }{c+vt}}} になる。 よってアリの位置の座標を ϕ ( t ) {\displaystyle \phi (t)} と書けば、次の微分方程式が得られる（これは数学的に見れば変数変換 ϕ ( t ) := y ( t ) c + v t {\displaystyle \phi (t):={\frac {y(t)}{c+vt}}} である）： ϕ ′ ( t ) = α c + v t {\displaystyle \phi '(t)={\frac {\alpha }{c+vt}}} ∴ ϕ ( t ) = ∫ 0 t α c + v s d s = α v ln ( c + v t c ) {\displaystyle \therefore \phi (t)=\int _{0}^{t}{\frac {\alpha }{c+vs}}\,ds={\frac {\alpha }{v}}\ln {\left({\frac {c+vt}{c}}\right)}} アリが時刻 t = T {\displaystyle t=T} で目標地点に到達するとすれば ϕ ( T ) = 1 {\displaystyle \phi (T)=1} だから、 α v ln ( c + v T c ) = 1 {\displaystyle {\frac {\alpha }{v}}\ln {\left({\frac {c+vT}{c}}\right)}=1} ∴ T = c v ( e v / α − 1 ) {\displaystyle \therefore T={\frac {c}{v}}\left(e^{v/\alpha }-1\right)} （単純なケース v = 0 {\displaystyle v=0} に対しても、極限 lim v → 0 T ( v ) {\displaystyle \lim _{v\rightarrow 0}T(v)} をとれば解 T = c α {\displaystyle T={\tfrac {c}{\alpha }}} が得られる）。任意の c {\displaystyle c} , v {\displaystyle v} , α {\displaystyle \alpha } （ v > 0 {\displaystyle v>0} , α > 0 {\displaystyle \alpha >0} ） に対し T {\displaystyle T} は有限値だから、アリが目標地点までの行程を完遂できること、及びその所要時間が分かったことになる。 最初に掲げた問題では c = 1 k m {\displaystyle c=1\,\mathrm {km} } , v = 1 k m / s {\displaystyle v=1\,\mathrm {km} /\mathrm {s} } , α = 1 c m / s {\displaystyle \alpha =1\,\mathrm {cm} /\mathrm {s} } であったので T = ( e 100 , 000 − 1 ) s ≈ 2.8 × 10 43 , 429 s {\displaystyle T=(e^{100,000}-1)\,\mathrm {s} \,\!\approx 2.8\times 10^{43,429}\,\mathrm {s} } となり、これは宇宙の年齢（とはいえ約 4×1017s に過ぎないが）にも匹敵する長大な時間で、またロープも同じように途轍もない長さになっている。アリが端に辿り着けるというのは、あくまで数学的な意味でである。 一方、ロープやアリの速度が一定でない場合は結論が変わってくる。例えば α ( t ) {\displaystyle \alpha (t)} を正の定数、 v ( t ) = 2 a t {\displaystyle v(t)=2at} （ a > 0 {\displaystyle a>0} は定数）とすると、微分方程式及びその解は次のようになる。 ϕ ′ ( t ) = α c + a t 2 {\displaystyle \phi '(t)={\frac {\alpha }{c+at^{2}}}} ∴ ϕ ( t ) = ∫ 0 t α c + a s 2 d s = α a c arctan ( a c t ) {\displaystyle \therefore \phi (t)=\int _{0}^{t}{\frac {\alpha }{c+as^{2}}}\,ds={\frac {\alpha }{\sqrt {ac}}}\arctan \left({\sqrt {\frac {a}{c}}}t\right)} ϕ ( t ) → π α 2 a c ( t → ∞ ) {\displaystyle \phi (t)\to {\frac {\pi \alpha }{2{\sqrt {ac}}}}\quad (t\to \infty )} これより、 a < π 2 α 2 4 c {\displaystyle a<{\frac {{\pi }^{2}{\alpha }^{2}}{4c}}} であればアリはロープの端に到達できるが、 a ≥ π 2 α 2 4 c {\displaystyle a\geq {\frac {{\pi }^{2}{\alpha }^{2}}{4c}}} のときは永遠に到達できないことがわかる。
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