解析学における実数とは? わかりやすく解説

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解析学における実数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/04/03 06:03 UTC 版)

実数」の記事における「解析学における実数」の解説

実数の完備性により、実数に値を持つ関数範疇様々な近似操作考えることができ、微積分などが定義される特定のクラス関数たちに対して距離の概念など用いて位相考えると位相線形空間得られる。こうして得られるものは多く場合無限次元であるが、考えている位相に関して完備になっている関数解析学では、この概念公理化した実数上で考えられる完備位相線形空間よばれる様々な空間研究される位相空間上の関数やその積分収束考えるときは、問題にしている関数たちによって指定される位相空間部分集合重要になるが、こうして可測集合概念得られる例えば実閉区間 [0, 1] 上の関数考えときには一点集合 {t} (0 ≤ t ≤ 1) や開集合含んで補集合とったり可算個の合併について閉じていたりするような集合族考えることになる。距離を持つコンパクト空間可測集合のなす構造は、高々可算集合または閉区間 [0, 1] の構造同型となることが知られている。

※この「解析学における実数」の解説は、「実数」の解説の一部です。
「解析学における実数」を含む「実数」の記事については、「実数」の概要を参照ください。

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