解析力学における運動エネルギー
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/21 00:58 UTC 版)
「運動エネルギー」の記事における「解析力学における運動エネルギー」の解説
ラグランジュ力学の出発点となるラグランジアン L は運動エネルギー K とポテンシャルエネルギー V の差として定義することができる。 L ( q , q ˙ ; t ) = K ( q ˙ ) − V ( q ) {\displaystyle L(q,{\dot {q}};t)=K({\dot {q}})-V(q)} この際、ラグランジアンの変数は一般化座標 q ( t ) {\displaystyle q(t)} とその時間微分 q ˙ ( t ) {\displaystyle {\dot {q}}(t)} 、及び時刻 t {\displaystyle t} である。多くの場合、一般化座標として位置 x {\displaystyle x} や 回転角 θ {\displaystyle \theta } とするので、運動エネルギーは K = ∑ i 1 2 m i v i 2 + ∑ j 1 2 I i ω j 2 {\displaystyle K=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{v_{i}}^{2}+\sum _{j}{\frac {1}{2}}I_{i}{\omega _{j}}^{2}} となる。 ハミルトン力学の出発点となるハミルトニアンH はラグランジアンのルジャンドル変換から、 H ( q , p ; t ) = ∑ p q ˙ − L {\displaystyle H(q,p;t)=\sum p{\dot {q}}-L} として定義される。ハミルトニアンの変数は一般化座標 q ( t ) {\displaystyle q(t)} と一般化運動量 p ( t ) {\displaystyle p(t)} である。元のラグランジアンでポテンシャルが q ˙ ( t ) {\displaystyle {\dot {q}}(t)} に依存せず、運動エネルギーが上の形をしていれば、 p i ( t ) = ∂ L ∂ v i = m i v i {\displaystyle p_{i}(t)={\frac {\partial L}{\partial v_{i}}}=m_{i}v_{i}} l j ( t ) = ∂ L ∂ ω j = I j ω j {\displaystyle l_{j}(t)={\frac {\partial L}{\partial \omega _{j}}}=I_{j}\omega _{j}} ( l は回転角度 θ に共役な角運動量)となり、運動エネルギーは K = ∑ i 1 2 m i p i 2 + ∑ j 1 2 I j l j 2 {\displaystyle K=\sum _{i}{\frac {1}{2m_{i}}}{p_{i}}^{2}+\sum _{j}{\frac {1}{2I_{j}}}{l_{j}}^{2}} となる。
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