解析力学における運動量
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/08 05:48 UTC 版)
解析力学において、一般化座標 qi に対応する一般化運動量 (generalized momentum) pi はその系のラグランジアン L(q, ·q) の一般化速度 ·qi による偏微分として定義される。 p i := ∂ L ( q , q ˙ ) ∂ q ˙ i {\displaystyle p_{i}:={\frac {\partial L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})}{\partial {\dot {q}}_{i}}}} ここで、ラグランジアン L(q, ·q) は、運動エネルギー K、ポテンシャル U の差として定義される。 L = K − U . {\displaystyle L=K-U.} ハミルトン形式の力学では、一般化速度の代わりに一般化運動量が力学変数として用いられる。ハミルトニアン H(q, p) は、ラグランジアン L(q, ·q) のルジャンドル変換として定義される。ルジャンドル変換 H ( q , p ) := max q ˙ ∈ D { q ˙ ⋅ p − L ( q , q ˙ ) } {\displaystyle H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}}):=\max _{{\dot {\boldsymbol {q}}}\in D}\left\{{\dot {\boldsymbol {q}}}\cdot {\boldsymbol {p}}-L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})\right\}} の右辺を最大化する ·q を考えると、ルジャンドル変換をする領域 D の中でラグランジアンが凸でありかつ充分滑らかなら、そのような ·q は以下の関係を満たす。 ∂ ∂ q ˙ ( q ˙ ⋅ p − L ( q , q ˙ ) ) = 0 . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}}\left({\dot {\boldsymbol {q}}}\cdot {\boldsymbol {p}}-L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})\right)={\boldsymbol {0}}.} これはすなわち、ハミルトニアンの変数 p が一般化運動量に等しいことを意味する。
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