スペクトル測度
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「スペクトル測度」の解説
スペクトル測度の概念を厳密に定式化する。なお、スペクトル測度の概念それ自身は、Aのスペクトルとは無関係に定義する。スペクトル測度の概念がAのスペクトルと結びつくのは、後述するスペクトル定理においてである。 P ( H ) {\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {H}})} を H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の元を H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の閉部分線形空間に対応させる正射影作用素全体の集合とする。すなわち P ∈ P ( H ) ⟺ ∃ V ⊂ H {\displaystyle P\in {\mathcal {P}}({\mathcal {H}})\iff \exists V\subset {\mathcal {H}}} （閉部分線形空間） s.t. P : ϕ = ϕ V + ϕ V ⊥ ∈ V ⊕ V ⊥ = H ↦ ϕ V ∈ V ⊂ H {\displaystyle P~:~\phi =\phi _{V}+\phi _{V}^{\bot }\in V\oplus V^{\bot }={\mathcal {H}}\mapsto \phi _{V}\in V\subset {\mathcal {H}}} さらに B ( R ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbf {R} )} をR上のボレル加法族とする。直観的にはこのRは、自己共役作用素のスペクトルやレゾルベントの取りうる値の集合である。 定義 (スペクトル測度) ― 写像 μ : B ( R ) → P ( H ) {\displaystyle \mu ~:~{\mathcal {B}}(\mathbf {R} )\to {\mathcal {P}}({\mathcal {H}})} が以下の３性質を満たすとき、μをスペクトル測度、正射影作用素値測度、もしくは単位の分解というH13(p138)新井(p136)： μ ( ∅ ) = 0 , μ ( R ) = I {\displaystyle \mu (\emptyset )=0,~\mu (\mathbf {R} )=I} B 1 , B 2 … ∈ B ( R ) {\displaystyle B_{1},B_{2}\ldots \in {\mathcal {B}}(\mathbf {R} )} が互いに素であれば、 μ ( ⋃ j = 1 ∞ B j ) = ∑ j = 1 ∞ μ ( B j ) {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}\right)=\sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j})} である。ここで収束は作用素ノルムの意味でのもの（すなわち強収束）である。 B 1 , B 2 ∈ B ( R ) {\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}(\mathbf {R} )} であれば、 μ ( B 1 ∩ B 2 ) = μ ( B 1 ) μ ( B 2 ) {\displaystyle \mu (B_{1}\cap B_{2})=\mu (B_{1})\mu (B_{2})}
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