ボレル汎函数計算
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/06 08:28 UTC 版)
「スペクトル分解 (関数解析学)」の記事における「ボレル汎函数計算」の解説
「ボレル汎函数計算」も参照 この小節ではこの種の計算の発展について簡単に説明する。初めに連続汎函数計算を構築し、リース＝マルコフの表現定理を介して可測函数へと移すということが、アイデアである。連続汎函数計算に対し、キーとなる事実を次に述べる。 1. T が自己共役であるなら、任意の多項式 P の作用素ノルムは ‖ P ( T ) ‖ = sup λ ∈ σ ( T ) | P ( λ ) | {\displaystyle \|P(T)\|=\sup _{\lambda \in \sigma (T)}|P(\lambda )|} で与えられる。 2. ストーン＝ワイエルシュトラスの定理により、複素数を係数に持つ多項式の族は C(σ(T)) において稠密で、σ(T) 上の連続函数であることが分かる。 族 C(σ(T)) は、一様ノルムが与えられたとき、バナッハ環となる。したがって写像 P → P ( T ) {\displaystyle P\rightarrow P(T)} は C(σ(T)) の稠密な部分集合から L(H) への等長準同型である。その写像を連続性により拡張することで f ∈ C(σ(T)) に対して f(T) が与えられる。すなわち、Pn を Pn → f が一様に成立するような多項式とし、f(T) = lim Pn(T) を定義する。これが連続汎函数計算である。 ある固定された h ∈ H に対して、 f → ⟨ h , f ( T ) h ⟩ {\displaystyle f\rightarrow \langle h,f(T)h\rangle } が C(σ(T)) 上の正の線型汎函数であることに注意されたい。リース＝マルコフの表現定理によれば、σ(T) 上の測度 μh で ∫ σ ( T ) f d μ h = ⟨ h , f ( T ) h ⟩ {\displaystyle \int _{\sigma (T)}f\,d\mu _{h}=\langle h,f(T)h\rangle } を満たすようなものが唯一つ存在する。この測度はしばしば、h に関するスペクトル測度（spectral measure associated to h）と呼ばれる。このスペクトル測度は、連続汎函数計算を有界ボレル函数へ拡張するために用いることが出来る。ボレル可測であるような有界函数 g と、g(T) に対して ∫ σ ( T ) g d μ h = ⟨ h , g ( T ) h ⟩ {\displaystyle \int _{\sigma (T)}g\,d\mu _{h}=\langle h,g(T)h\rangle } を定義する。偏極恒等式を介して（H が複素と仮定されているので）、 ⟨ k , g ( T ) h ⟩ {\displaystyle \langle k,g(T)h\rangle } を求めることが出来、したがって任意の h に対して g(T) h が得られる。 この文脈において、測度論の結果と結び付けられるスペクトル測度が、σ(T) の分解を与えることが分かる。
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