スカラーの多元環
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/26 03:09 UTC 版)
Ck 級多様体 M に対し、多様体上の実数値 Ck 級関数全体の集合は点ごとの和と積によって多元環をなし、スカラー場代数 (algebra of scalar fields) あるいは単に the algebra of scalars と呼ばれる。この多元環は乗法単位元として定数関数 1 を持ち、代数幾何学における正則関数の環の微分可能な類似物である。 多様体をその algebra of scalars から再構成することができる。まずは集合として、しかし位相空間としても。これはバナッハ・ストーンの定理（英語版）の応用であり、よりフォーマルにはC*-環のスペクトル（英語版）として知られている。まず、M の点と多元環準同型 φ: Ck(M) → R の間には1対1の対応がある。準同型 φ は Ck(M) の余次元 1 のイデアル（すなわち φ の核）と対応する。これは極大イデアルでなければならない。逆に、この多元環のすべての極大イデアルはある1点で消える関数のイデアルであり、これは Ck(M) の MSpec が M を点集合として修復すること、実は M を位相空間として修復するのであるが、を証明している。 様々な幾何学的構造を algebra of scalars のことばで代数的に定義することができ、これらの定義はしばしば代数幾何学（環を幾何学的に解釈して）や作用素論（バナッハ空間を幾何学的に解釈して）に一般化する。例えば、M の接束は M 上の滑らかな関数の多元環の微分として定義できる。 多様体のこの「代数化」(algebraization) （幾何学的な対象を多元環に置き換えること）はC*-環の概念を導き――可換 C*-環はバナッハ・ストーンによってちょうど多様体の ring of scalars であり――非可換 C*-環を多様体の非可換の一般化と考えることができる。これは非可換幾何学の分野の基礎である。
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