スカラーの多元環とは? わかりやすく解説

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スカラーの多元環

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/02/26 03:09 UTC 版)

可微分多様体」の記事における「スカラーの多元環」の解説

Ck 級多様体 M に対し多様体上の実数Ck 級関数全体集合点ごと和と積によって多元環をなし、スカラー場代数 (algebra of scalar fields) あるいは単に the algebra of scalars と呼ばれる。この多元環乗法単位元として定数関数 1 を持ち代数幾何学における正則関数の環の微分可能類似物である。 多様体をその algebra of scalars から再構成することができる。まずは集合として、しかし位相空間としても。これはバナッハ・ストーンの定理英語版)の応用であり、よりフォーマルにC*-環スペクトル英語版)として知られている。まず、M の点と多元環準同型 φ: Ck(M) → R の間には1対1の対応がある。準同型 φ は Ck(M) の余次元 1イデアル(すなわち φ の)と対応する。これは極大イデアルなければならない逆に、この多元環すべての極大イデアルはある1点消え関数イデアルであり、これは Ck(M) の MSpec が M を点集合として修復すること、実は M を位相空間として修復するのであるが、を証明している。 様々な幾何学的構造algebra of scalars のことばで代数的に定義することができ、これらの定義はしばし代数幾何学(環を幾何学的に解釈して)や作用素論バナッハ空間幾何学的に解釈して)に一般化する例えば、M の接束M 上滑らかな関数多元環微分として定義できる多様体のこの「代数化」(algebraization) (幾何学的な対象多元環置き換えること)はC*-環概念導き――可換 C*-環はバナッハ・ストーンによってちょう多様体ring of scalars であり――非可換 C*-環多様体非可換の一般化考えることができる。これは非可換幾何学分野基礎である。

※この「スカラーの多元環」の解説は、「可微分多様体」の解説の一部です。
「スカラーの多元環」を含む「可微分多様体」の記事については、「可微分多様体」の概要を参照ください。

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