スカラーポテンシャルの存在
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/21 14:44 UTC 版)
「ポアンカレの補題」の記事における「スカラーポテンシャルの存在」の解説
R3 全体で定義された3次元のベクトル場 F において、その回転 rot が rot F = 0 {\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {F} =\mathbf {0} } を満たすならば、 F = grad ψ {\displaystyle \mathbf {F} =\operatorname {grad} \psi } の関係を満たす R3 上のスカラーポテンシャル ψ が存在する。この場合、F = (F1, F2, F3) は1次微分形式 ω = F 1 d x + F 2 d y + F 3 d z {\displaystyle \omega =F_{1}\mathrm {d} x+F_{2}\mathrm {d} y+F_{3}\mathrm {d} z\,} に対応し、ψ は0次微分形式 η に対応している。また、回転 rot の作用は、1次微分形式に対する外微分に相当する。なお、ベクトル場の領域の条件としては、R3 全体以外にも、単連結な領域をとることができる。
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