和と積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/24 09:39 UTC 版)
点 x 0 {\displaystyle x_{0}} の近傍で定義された関数 f ( x ) , g ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x),\ g(x)} は、漸近関数列 { φ n ( x ) } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}} に対する漸近展開 f ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x ) g ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ b k φ k ( x ) ( x → x 0 ) {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ \ \ g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})} を持つとする。このとき、任意の α、β に対して α f ( x ) + β g ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ ( α a k + β b k ) φ k ( x ) ( x → x 0 ) {\displaystyle \alpha f(x)+\beta g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }(\alpha a_{k}+\beta b_{k})\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})} が成立する。 さらに、漸近関数列が { φ ( x ) n } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi (x)^{n}\}_{n\geq 0}} ( φ ( x ) → ∞ ( x → x 0 ) ) {\displaystyle \scriptstyle (\varphi (x)\to \infty \ (x\to x_{0}))} である場合、 f ( x ) g ( x ) ∼ ∑ n = 0 ∞ c n φ ( x ) n ( c n = ∑ k = 0 n a k b n − k ) ( x → x 0 ) {\displaystyle f(x)g(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\varphi (x)^{n}\ \ \ (c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k})\ \ \ (x\to x_{0})} が成立する。
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