古典的な（ベクトル解析の）場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 04:37 UTC 版)
「一般化されたストークスの定理」の記事における「古典的な（ベクトル解析の）場合」の解説
詳細は「ストークスの定理」および「ケルビン・ストークスの定理」を参照 これは 1形式の（二重化された）(1+1) 次元の場合である（ベクトル場に関するステートメントであるため、二重化されている）。この特殊ケースは多くの大学のベクトル解析入門コースでストークスの定理と呼ばれることが多く、物理学や工学で使用されている。 回転定理とも呼ばれる。 古典的なストークスの定理は、3次元ユークリッド空間の曲面 Σ 上のベクトル場の回転の面積分を、その境界上のベクトル場の線積分に関連付ける。これは一般化されたストークスの定理の特殊なケース (n = 2) であり、3次元ユークリッド空間の計量を使用してベクトル場は1形式とみなされる。線積分の経路曲線 ∂Σ は正の方向を向いている必要がある。つまり曲面の法線ベクトル n がこの記事の読者の方を向いている場合 ∂Σ は反時計回りを指す。 この定理の帰結の1つとして、回転がゼロのベクトル場に沿った曲線は閉曲線にすることができないことが言える。定理の公式は次のように書き直すことができる。 定理 ― F = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)) が滑らかな表面 Σ を持つ領域で定義され、連続した1次偏導関数を持つと仮定する。そのとき ∬ Σ [ ( ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z ) d y d z + ( ∂ P ∂ z − ∂ R ∂ x ) d z d x + ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y ] = ∮ ∂ Σ ( P d x + Q d y + R d z ) , {\displaystyle \iint _{\Sigma }\left[\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\mathrm {d} y\mathrm {d} z+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\mathrm {d} z\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\right]=\oint _{\partial \Sigma }(P\mathrm {d} x+Q\mathrm {d} y+R\mathrm {d} z),} ここで P, Q および R は F の成分であり、∂Σ は領域 Σ の境界。
※この「古典的な（ベクトル解析の）場合」の解説は、「一般化されたストークスの定理」の解説の一部です。
「古典的な（ベクトル解析の）場合」を含む「一般化されたストークスの定理」の記事については、「一般化されたストークスの定理」の概要を参照ください。
- 古典的な場合のページへのリンク
