古典的な層の理論との対応とは? わかりやすく解説

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古典的な層の理論との対応

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/09/15 14:55 UTC 版)

トポス (数学)」の記事における「古典的な層の理論との対応」の解説

Xを位相空間とするとき、Xの開集合のなす圏 O(X) の上に族の合併操作からグロタンディーク位相定まる。そこから得られるトポスは(普通の意味での)X 上の層の圏 Sh(X) である。位相空間の間の連続写像 f:X → Y はトポスの射 Sh(X) → Sh(Y) を導く。逆に、Yがハウスドルフ性などよい分離性を持つ空間ときにはトポスの射 Sh(X) → Sh(Y) は必ずこのようにして得られる。したがってトポス理論位相空間理論の(圏の言葉による)言い換え与えていると考えることができる。 Sets一点空間の上の層の圏と見なせるが、任意の点 x ∈ X について { x } → X が導くトポスの射 SetsSh({x}) → Sh(X) は「xにおけるファイバーをとる」関手と「x上の摩天楼層」関手から構成されている。また、X → pt一点空間)が導くトポスの射 Sh(X) → Sets は「定数層」関手と「大域切断関手から構成されている。

※この「古典的な層の理論との対応」の解説は、「トポス (数学)」の解説の一部です。
「古典的な層の理論との対応」を含む「トポス (数学)」の記事については、「トポス (数学)」の概要を参照ください。

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