超球冠
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/03 14:40 UTC 版)
一般的に、 n {\displaystyle n} 次元ユークリッド空間における高さ h {\displaystyle h} で半径 r {\displaystyle r} の超球冠の n {\displaystyle n} 次元の体積は V = π n − 1 2 r n Γ ( n + 1 2 ) ∫ 0 arccos ( r − h r ) sin n ( t ) d t {\displaystyle V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}}\int \limits _{0}^{\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)}\sin ^{n}(t)\,\mathrm {d} t} で与えられる。ここで Γ {\displaystyle \Gamma } （ガンマ関数）は Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t} で与えられる。 V {\displaystyle V} の式は、n次元球体単位の体積 C n = π n / 2 / Γ [ 1 + n 2 ] {\displaystyle C_{n}={\scriptstyle \pi ^{n/2}/\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}} や超幾何関数 2 F 1 {\displaystyle {}_{2}F_{1}} 、正規化不完全ベータ関数 I x ( a , b ) {\displaystyle I_{x}(a,b)} を用いて V = C n r n ( 1 2 − r − h r Γ [ 1 + n 2 ] π Γ [ n + 1 2 ] 2 F 1 ( 1 2 , 1 − n 2 ; 3 2 ; ( r − h r ) 2 ) ) = 1 2 C n r n I ( 2 r h − h 2 ) / r 2 ( n + 1 2 , 1 2 ) {\displaystyle V=C_{n}\,r^{n}\left({\frac {1}{2}}\,-\,{\frac {r-h}{r}}\,{\frac {\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma [{\frac {n+1}{2}}]}}{\,\,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1-n}{2}};{\tfrac {3}{2}};\left({\tfrac {r-h}{r}}\right)^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}C_{n}\,r^{n}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)} と表すことができ、 表面積の式 A {\displaystyle A} は、n次元球体単位の表面積 A n = 2 π n / 2 / Γ [ n 2 ] {\displaystyle A_{n}={\scriptstyle 2\pi ^{n/2}/\Gamma [{\frac {n}{2}}]}} を用いて A = 1 2 A n r n − 1 I ( 2 r h − h 2 ) / r 2 ( n − 1 2 , 1 2 ) {\displaystyle A={\frac {1}{2}}A_{n}\,r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n-1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)} と表すことができる。ここで 0 ≤ h ≤ r {\displaystyle 0\leq h\leq r} である。 それより前に (1986, USSR Academ. Press) 次の式が導出されていた。 A = A n p n − 2 ( q ) , V = C n p n ( q ) {\displaystyle A=A_{n}p_{n-2}(q),V=C_{n}p_{n}(q)} , where q = 1 − h / r ( 0 ≤ q ≤ 1 ) , p n ( q ) = ( 1 − G n ( q ) / G n ( 1 ) ) / 2 {\displaystyle q=1-h/r(0\leq q\leq 1),p_{n}(q)=(1-G_{n}(q)/G_{n}(1))/2} , G n ( q ) = ∫ 0 q ( 1 − t 2 ) ( n − 1 ) / 2 d t {\displaystyle G_{n}(q)=\int \limits _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt} . 奇数 n = 2 k + 1 : {\displaystyle n=2k+1:} に対しては G n ( q ) = ∑ i = 0 k ( − 1 ) i ( k i ) q 2 i + 1 2 i + 1 {\displaystyle G_{n}(q)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {q^{2i+1}}{2i+1}}} .
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