囲む体積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/26 07:03 UTC 版)
三次元空間において、球面の囲む体積（厳密に言えばこれは球体の体積だが、古典的にはこれを「球」の体積と呼ぶ）は、半径を r として V = 4 3 π r 3 {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}} で与えられる。この公式を導いた最初の人はアルキメデスで、球面の囲む体積が球面とそれに外接する円筒（つまり、円筒の高さおよび底面の直径が球面の直径と等しい）の間の体積に二倍に等しいことを示すことで導かれた。この主張は、カヴァリエリの原理から得ることができる。この公式を積分を使って導くこともできる: 原点を中心とする半径 r の球を想定すれば、輪切り積分法（英語版）では、中心が x-軸に沿って x = −r から x = r まで並ぶように無限個積み重ねた無限に薄い円柱 (≈ 円板) の体積の総和として球面の体積を計算する。あるいは、球面座標系の体積要素 d V := r 2 sin ( θ ) d r d θ d φ {\textstyle dV:=r^{2}\sin(\theta ){\mathit {dr}}\,{\mathit {d\theta }}\,{\mathit {d\varphi }}} を積分しても同じ結果が得られる。
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