体積は半径の n 乗に比例する
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/04 06:24 UTC 版)
「超球の体積」の記事における「体積は半径の n 乗に比例する」の解説
n-次元球の体積についてのいくつかの証明においての重要なステップであり、それ以外にも有用性のある一般的な事実は、半径 R の n-次元球の体積は Rn に比例すること、つまり V n ( R ) ∝ R n {\displaystyle V_{n}(R)\propto R^{n}} である。このときの比例定数は単位球の体積に等しい。 上記の関係は帰納法による簡単な証明がある。基底段階は n = 0 であり、比例することは自明である。帰納段階は、次元 n − 1 で比例することが真であると仮定する。n-次元球体と一つの超平面との交わりは (n − 1)-次元球体であることに注意する。n-次元球体の体積を (n − 1)-次元球体の体積の積分 V n ( R ) = ∫ − R R V n − 1 ( R 2 − x 2 ) d x {\displaystyle V_{n}(R)=\int _{-R}^{R}V_{n-1}({\sqrt {R^{2}-x^{2}}})\,dx} として書く時、帰納法の仮定により n − 1-次元球体の半径から R-倍の因子を括りだして V n ( R ) = R n − 1 ∫ − R R V n − 1 ( 1 − ( x / R ) 2 ) d x {\displaystyle V_{n}(R)=R^{n-1}\int _{-R}^{R}V_{n-1}({\sqrt {1-(x/R)^{2}}})dx} と書くことができる。変数変換 t = x/R を施して導かれる V n ( R ) = R n ∫ − 1 1 V n − 1 ( 1 − t 2 ) d t = R n V n ( 1 ) {\displaystyle V_{n}(R)=R^{n}\int _{-1}^{1}V_{n-1}({\sqrt {1-t^{2}}})\,dt=R^{n}V_{n}(1)} は次元 n における比例関係を示すものになっている。帰納法によって、全ての次元で比例関係は真である。
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