テンソル量としての弾性率
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/11 08:29 UTC 版)
2階のテンソル量である応力σとひずみεに対して、弾性率Dは4階のテンソル量で表すことができる。 σ = D ϵ , {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {D}}{\boldsymbol {\epsilon }},} σ i j = D i j k l ϵ k l ( i , j , k , l = 1 ∼ 3 ) {\displaystyle \sigma _{ij}=D_{ijkl}\epsilon _{kl}\quad (i,j,k,l=1\sim 3)} 弾性率はテンソルであるため、物質客観性の原理により座標変換においてσ=Dεの関係を保たねばならない。座標系O-x1x2x3からO-x '1x '2x '3へ変換するとき、弾性率テンソルの成分は D i j m n ′ = D p q r s l i p l j q l m r l n s {\displaystyle D'_{ijmn}=D_{pqrs}l_{ip}l_{jq}l_{mr}l_{ns}} と変換される。ここでlipは、xi軸とx'p軸の方向余弦である。 弾性率テンソルは81(= 34)個の成分を持つが、応力テンソルσとひずみテンソルεは対称性、すなわち σ i j = σ j i , ϵ i j = ϵ j i {\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji},\quad \epsilon _{ij}=\epsilon _{ji}} によりそれぞれ独立な6成分を持つので、弾性率テンソルDも D i j k l = D j i l k {\displaystyle D_{ijkl}=D_{jilk}} の性質を持ち、独立な成分は36(= 62)個となる。さらに単位体積あたりの弾性ひずみエネルギー d W ≡ σ i j d ϵ i j {\displaystyle dW\equiv \sigma _{ij}\,d\epsilon _{ij}} を用いて弾性率が D i j k l = ∂ 2 W ∂ ϵ i j ∂ ϵ k l {\displaystyle D_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}W}{\partial \epsilon _{ij}\partial \epsilon _{kl}}}} と表せることから D i j k l = D k l i j {\displaystyle D_{ijkl}=D_{klij}} が成り立つため、最終的に弾性率テンソルDの独立な成分は21(= 6×(6+1)/2)個となる。
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