テンソル積との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/27 23:02 UTC 版)
多重線型写像は本質的にテンソル積空間上の線型写像であると考えることができる。すなわち多重線型写像の空間 L(E1, …, Ek; F) と線型写像の空間 L(E1 ⊗ ⋯ ⊗ Ek; F) との間に自然な一対一対応が存在する（テンソル積の普遍性）。ここに E1 ⊗ ⋯ ⊗ Ek は E1, …, Ek のテンソル積である。この対応関係において対応する多重線型写像 f : E 1 × ⋯ × E k → F {\displaystyle f\colon E_{1}\times \cdots \times E_{k}\to F} と線型写像 f ~ : E 1 ⊗ ⋯ ⊗ E k → F {\displaystyle {\tilde {f}}\colon E_{1}\otimes \cdots \otimes E_{k}\to F} の間の関係は、等式 f ~ ( x 1 ⊗ ⋯ ⊗ x k ) = f ( x 1 , … , x k ) ( x i ∈ E i ) {\displaystyle {\tilde {f}}(x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{k})=f(x_{1},\dotsc ,x_{k})\qquad (x_{i}\in E_{i})} によって端的に表される。すなわち、この等式を満たすという意味で f は ~f の制限であり、~f は f の唯一の線型な拡張である。
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テンソル積との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/21 03:02 UTC 版)
テンソル積の持つ普遍性により、V 上の双線型形式は、線型写像 V ⊗ V → F と 1 対 1 に対応する。B が V 上の双線型形式であれば、対応する線型写像は v ⊗ w ↦ B(v, w) によって与えられる。全ての線型写像 V ⊗ V → F の集合は、V ⊗ V の双対空間であるので、双線型形式は (V ⊗ V)* ≅ V* ⊗ V* の元と考えられる。同様にして、対称双線型形式は Sym2(V*) （V* の二次対称冪）の元とも考えることができ、交代双線型形式は、Λ2V* （V* の二次外冪）の元とも考えられる。
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