テンソル積に基づく定義とは? わかりやすく解説

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テンソル積に基づく定義

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/11/29 01:53 UTC 版)

テンソル」の記事における「テンソル積に基づく定義」の解説

詳細は「テンソル空間」を参照 数学的応用に際しては、より抽象的やり方の方が有効なこともある。これは普遍性通じて定義できるベクトル空間のテンソル積の元としてテンソル定義することによってなされる。この文脈では、(p, q)-型テンソルベクトル空間のテンソル積の元 T ∈ V ⊗ ⋯ ⊗ V ⏟ p  copies ⊗ V ∗ ⊗ ⋯ ⊗ V ∗ ⏟ q  copies {\displaystyle T\in \underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{p{\text{ copies}}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{q{\text{ copies}}}} として定義される一般にvi が V の基底成しwj が W の基底を成すとき、テンソル積空間 V ⊗ W は自然な基底 {viwj} を持つ。テンソル T の成分は、V の基底 {ei} とその双対基底 {εj} から得られる基底に関するテンソル係数 T = T j 1 … j q i 1 … i p e i 1 ⊗ ⋯ ⊗ e i p ⊗ ε j 1 ⊗ ⋯ ⊗ ε j q {\displaystyle T=T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\;e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{p}}\otimes \varepsilon ^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes \varepsilon ^{j_{q}}} に等しい。テンソル積性質用いて、この成分が (p, q)-型テンソル変換則を満たすことが示せる。さらに言えばテンソル積の普遍性により、今定義した意味でのテンソル多重線型写像として定義した意味でのテンソル一対一対応することが言えるテンソル極めて一般に例え任意の環上の加群まで含めて定義することができる。一つ原理として「『テンソル』とは単に任意のテンソル積空間の元である」と定めることはできるが、数学文献では「テンソル」とは上記のように一つ空間 V とその双対から得られるテンソル積テンソル空間)の元のために用いるのが普通である。

※この「テンソル積に基づく定義」の解説は、「テンソル」の解説の一部です。
「テンソル積に基づく定義」を含む「テンソル」の記事については、「テンソル」の概要を参照ください。

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