商としての定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/19 10:05 UTC 版)
一般に、体 K 上のベクトル空間 V, W が与えられたとき、それらのテンソル積 U = V ⊗ W は、デカルト積 V × W の生成する K-上の自由線型空間 F(V × W) の、 ( v 1 , w ) + ( v 2 , w ) ∼ ( v 1 + v 2 , w ) ( v , w 1 ) + ( v , w 2 ) ∼ ( v , w 1 + w 2 ) c ( v , w ) ∼ ( c v , w ) ∼ ( v , c w ) ( v , v 1 , v 2 ∈ V ; w , w 1 , w 2 ∈ W ; c ∈ K ) {\displaystyle {\begin{aligned}&(v_{1},w)+(v_{2},w)\sim (v_{1}+v_{2},w)\\&(v,w_{1})+(v,w_{2})\sim (v,w_{1}+w_{2})\\&c(v,w)\sim (cv,w)\sim (v,cw)\end{aligned}}\quad (v,v_{1},v_{2}\in V;\;w,w_{1},w_{2}\in W;\;c\in K)} で与えられる同値関係 ∼ による商として定義することができる。これは F(V × W) における演算から誘導される演算によりベクトル空間を成す。言葉を変えれば、テンソル積空間 V ⊗ W は上記の同値関係に関する零ベクトルの属する同値類を N とするときの商線型空間 F(V × W)/N である。より具体的に書けば、部分空間 N は 適当な v1, v2 ∈ V, w1, w2 ∈ W, c ∈ K を用いて (v1, w1) + (v2, w1) − (v1 + v2, w1), (v1, w1) + (v1, w2) − (v1, w1 + w2), c(v1, w1) − (cv1, w1), c(v1, w1) − (v1, cw1) の何れかの形に書ける F(V × W) の元全体から生成される。商を取れば N の元は零ベクトルに写されるから、v ⊗ w := (v, w) mod N と書けば、この場合もやはり ( v 1 ⊗ w 1 ) + ( v 2 ⊗ w 1 ) = ( v 1 + v 2 ) ⊗ w 1 , ( v 1 ⊗ w 1 ) + ( v 1 ⊗ w 2 ) = v 1 ⊗ ( w 1 + w 2 ) , c ( v 1 ⊗ w 1 ) = ( c v 1 ) ⊗ w 1 = v 1 ⊗ ( c w 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&(v_{1}\otimes w_{1})+(v_{2}\otimes w_{1})=(v_{1}+v_{2})\otimes w_{1},\\&(v_{1}\otimes w_{1})+(v_{1}\otimes w_{2})=v_{1}\otimes (w_{1}+w_{2}),\\&c(v_{1}\otimes w_{1})=(cv_{1})\otimes w_{1}=v_{1}\otimes (cw_{1})\end{aligned}}} が満足されることがわかる。
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