商と標準分解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/15 18:57 UTC 版)
任意の写像 f: X → Y に対し、X 上の二項関係 ∼f を a ∼ f b ⟺ f ( a ) = f ( b ) {\displaystyle a\sim _{f}b\iff f(a)=f(b)} で定めると ∼f は同値関係で、写像 f に付随する同値関係と呼ばれる。この同値関係による類別を考えることにより X は等位集合 C(y) = f−1(y) (y ∈ Y) の和に分割される。このとき、商集合 X/∼f からの写像 φ : X / ∼ f → ran ( f ) ( ⊂ Y ) ; C ( y ) ↦ y {\displaystyle \varphi \colon X/{\sim _{f}}\to \operatorname {ran} (f)(\subset Y);\;C(y)\mapsto y} は well-defined で、f の同値関係 ∼f による商写像あるいは f に付随する全単射と呼ぶ。写像系列 f : X ↠ π X / ∼ f → φ ran ( f ) ↪ ι Y , {\displaystyle f\colon X{\stackrel {\pi }{{}\twoheadrightarrow {}}}X/{\sim _{f}}{\stackrel {\varphi }{{}\to {}}}\operatorname {ran} (f){\stackrel {\iota }{{}\hookrightarrow {}}}Y,} あるいは等式 f = ι ∘ φ ∘ π （ただし、π は自然な全射、ι は自然な単射）を写像 f の標準分解と呼ぶ。
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