商の確率密度関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/02 15:56 UTC 版)
2つの独立な確率変数 U と V の商 Y = U/V は、次のように変換される。 Y = U V {\displaystyle Y={\frac {U}{V}}} Z = V {\displaystyle Z=V} この時、同時確率密度関数 p(Y, Z) は U, V を Y, Z に変数変換することで計算でき、Y は同時確率密度関数から Z を周辺化することで導出できる。 その逆変換は、 U = Y Z {\displaystyle U=YZ} V = Z {\displaystyle V=Z} である。 この変換のヤコビ行列 J ( U , V | Y , Z ) {\displaystyle J(U,V|Y,Z)} は、 | ∂ U ∂ Y ∂ U ∂ Z ∂ V ∂ Y ∂ V ∂ Z | = | Z Y 0 1 | = | Z | {\displaystyle {\begin{vmatrix}{\frac {\partial U}{\partial Y}}&{\frac {\partial U}{\partial Z}}\\{\frac {\partial V}{\partial Y}}&{\frac {\partial V}{\partial Z}}\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}Z&Y\\0&1\\\end{vmatrix}}=|Z|} である。 従って、 p ( Y , Z ) = p ( U , V ) J ( U , V | Y , Z ) = p ( U ) p ( V ) J ( U , V | Y , Z ) = p U ( Y Z ) p V ( Z ) | Z | {\displaystyle p(Y,Z)=p(U,V)\,J(U,V|Y,Z)=p(U)\,p(V)\,J(U,V|Y,Z)=p_{U}(YZ)\,p_{V}(Z)\,|Z|} となる。 Y の分布は Z の周辺化によって、 p ( Y ) = ∫ − ∞ ∞ p U ( Y Z ) p V ( Z ) | Z | d Z {\displaystyle p(Y)=\int _{-\infty }^{\infty }p_{U}(YZ)\,p_{V}(Z)\,|Z|\,dZ} と計算される。 この手法で U, V を Y, Z に変換する時に不可欠な条件が全単射である。上記の変換は Z が V に直接逆写像され、与えられた V について U/V が単調写像であるので条件に適合している。これは、和：U + V, 差：U − V、積：UV においても同様である。 独立な確率変数の積についても全く同じ手法で計算することができる。
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