代数多様体、代数曲線、リーマン面から生ずる函数体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/20 01:40 UTC 版)
「代数函数体」の記事における「代数多様体、代数曲線、リーマン面から生ずる函数体」の解説
k 上の次元 n の代数多様体の函数体は、k 上の n 変数の代数函数体である。 k 上の 1 変数の函数体は、本質的に正則（英語版）(regular)（つまり、滑らかで非特異な）射影既約代数曲線の函数体として生ずるので、n = 1 の場合（スキームの意味で既約代数曲線）は、特に重要である。事実、正規射影既約代数曲線（非定数の正則写像を射として持つ）の圏と、k 上の（射として k-線形体準同型をもつ）一変数函数体の圏との間の圏の双対性（反変同値）が存在する。 連結なリーマン面 X 上に定義された有理型函数の体 M(X) は、複素数 C 上の一変数函数体である。実際、M は、コンパクトで連結なリーマン面の圏（非定数の正則写像を射としてもつ）と C 上の一変数函数体との間の反変圏同値である。同様な対応が、コンパクトで連結なクライン曲面（英語版）(Klein surface)と R 上の一変数函数体との間にも存在する。
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