代数多様体での定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/10/13 14:54 UTC 版)
「交点数 (代数幾何学)」の記事における「代数多様体での定義」の解説
代数多様体の場合の普通に構成するときの定義は、段階を踏む。以下に与える定義は、非特異多様体 X の上の因子の交点数の定義である。 1. 定義から直接計算することのできる唯一の交点数は、x で一般の位置にある超曲面（X の余次元 1 の部分多様体）の交点の場合である。特に、X を非特異と仮定し、次の関係を満たすような多項式 fi(t1, ..., tn) に対して、x の近傍で局所的に方程式 f1, ..., fn をもつ n 個の超曲面 Z1, ..., Zn をとる。 n = dim k X {\displaystyle n=\dim _{k}X} . 全ての i に対し、 f i ( x ) = 0 {\displaystyle f_{i}(x)=0} （つまり、x は超曲面の交叉である。） dim x ∩ i = 1 n Z i = 0 {\displaystyle \dim _{x}\cap _{i=1}^{n}Z_{i}=0} （つまり、因子は一般の位置にある。） x で f i {\displaystyle f_{i}} は非特異である。 すると、x での交点数は、 ( Z 1 ⋯ Z n ) x := dim k O X , x / ( f 1 , … , f n ) {\displaystyle (Z_{1}\cdots Z_{n})_{x}:=\dim _{k}{\mathcal {O}}_{X,x}/(f_{1},\dots ,f_{n})} , で定義される。ここに、 O X , x {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}} は、X の x での局所環であり、次元は k-ベクトル空間としての次元である。このことは、局所環 k [ U ] m x {\displaystyle k[U]_{{\mathfrak {m}}_{x}}} として計算することができる。ここに、 m x {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}} は、x でゼロとなる多項式の極大イデアルで、U は x を含み fi の特異点を含まない開アフィン集合である。 2. 一般の位置にある超曲面の交点数は、各々の交点の交点数の和として定義される。 ( Z 1 ⋯ , Z n ) = ∑ x ∈ ∩ i Z i ( Z 1 ⋯ Z n ) x {\displaystyle (Z_{1}\cdots ,Z_{n})=\sum _{x\in \cap _{i}Z_{i}}(Z_{1}\cdots Z_{n})_{x}} 3. 線型性により有効因子へ定義を拡張すると、 ( n Z 1 ⋯ Z n ) = n ( Z 1 ⋯ Z n ) {\displaystyle (nZ_{1}\cdots Z_{n})=n(Z_{1}\cdots Z_{n})} であり、 ( ( Y 1 + Z 1 ) Z 2 ⋯ Z n ) = ( Y 1 Z 2 ⋯ Z n ) + ( Z 1 Z 2 ⋯ Z n ) {\displaystyle ((Y_{1}+Z_{1})Z_{2}\cdots Z_{n})=(Y_{1}Z_{2}\cdots Z_{n})+(Z_{1}Z_{2}\cdots Z_{n})} となる。 4. 一般の位置にある任意の因子への定義の拡張は、ある有効因子 P と N に対して一意的な表現 D = P - N を持つので、Di = Pi - Ni とおき、 ( ( P 1 − N 1 ) P 2 ⋯ P n ) = ( P 1 P 2 ⋯ P n ) − ( N 1 P 2 ⋯ P n ) {\displaystyle ((P_{1}-N_{1})P_{2}\cdots P_{n})=(P_{1}P_{2}\cdots P_{n})-(N_{1}P_{2}\cdots P_{n})} というルールを決めると、（因子と因子との）交点と解釈することができる。 5. 従って、一般の位置にある線型同値因子を見つけることができることを保障する「周の移動補題(Chow's moving lemma)」を使うことにより、交点を持つと解釈できるので、任意の因子にたいする交点数を定義することができる。 この（因子にたいする）交点数の定義は、因子の順番にはよらないことに注意する必要がある。
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