代数体係数の場合: Trager の方法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/16 01:05 UTC 版)
「多項式の因数分解」の記事における「代数体係数の場合: Trager の方法」の解説
体 K が代数体（ℚ の有限次拡大体）であるときの多項式 p(x) ∈ K[x] も因数分解することができる。無平方分解して、多項式は無平方であると仮定してよい。ℚ 上の線型環として L := K[x]/(p(x)) と陽に書いて、無作為に α ∈ L をとれば、原始元定理により、高確率で α は L を ℚ 上生成する。生成することが確認できたならば、α の ℚ 上の最小多項式 q(y) ∈ ℚ[y] を計算して、それを ℚ[y] 上で q ( y ) = ∏ i = 1 n q i ( y ) {\displaystyle q(y)=\prod _{i=1}^{n}q_{i}(y)} と因数分解することで、 L = Q [ α ] = Q [ y ] / ( q ( y ) ) = ∏ i = 1 n Q [ y ] / ( q i ( y ) ) {\displaystyle L=\mathbb {Q} [\alpha ]=\mathbb {Q} [y]/(q(y))=\prod _{i=1}^{n}\mathbb {Q} [y]/(q_{i}(y))} と決定できて（p は無平方であるから、L が被約環となることに注意）、α は右辺の元 (y, …, y)（全ての成分が y）に対応する。これが体の直積としての L の唯一の分解であることに注意する。したがってこの分解は ∏ i = 1 m K [ x ] / ( p i ( x ) ) {\displaystyle \prod _{i=1}^{m}K[x]/(p_{i}(x))} と同じものである（ここに p = ∏mi=1 pi は p の K[x] における既約分解とする）。x ∈ L および K の生成元を α の多項式として書けば、x および K の ℚ[y]/(qi(y)) = K[x]/(pi(x)) の直積因子の中への埋め込みが決定できる。この環における x の最小多項式を求めることにより、pi が計算できて、したがって p が K 上で既約分解される。
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