代数多様体上の有理点や K-有理点
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/17 17:34 UTC 版)
「有理点」の記事における「代数多様体上の有理点や K-有理点」の解説
「ディオファントス幾何学（英語版） 」を参照 V を体 K 上の代数多様体とする。V がアフィン多様体、つまり V を係数が K に属する多項式方程式系 fj(x1, ..., xn) = 0, j = 1, ..., m の零点集合であるとすると、V の K-有理点 P は、体 K に属する数の順序付きの n-個の組 (x1, ..., xn) であり、同時にすべての方程式の共通解となる。一般に V の K-有理点は、V のアフィン開部分集合の K-有理点である。 V が射影空間 P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} の中の斉次多項式 f 1 , … , f m {\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}} （係数は K に属する）で定義される射影的な代数多様体の場合は、V の K-有理点は射影空間内の [ x 0 : ⋯ : x n ] {\displaystyle [x_{0}:\cdots :x_{n}]} の点のうち、すべての座標が K に属し、すべての方程式 f j = 0 {\displaystyle f_{j}=0} の共通解となっているものである。 混乱がない場合、あるいは体 K が有理数体の場合には、K-有理点を単に有理点と呼ぶことがある。 K-有理点と同様に、楕円曲線のような代数多様体の有理点は、現在の研究の主要な分野となっている。アーベル多様体 A に対し、K-有理点は群を形成する。K が数体のとき、モーデル・ヴェイユの定理は K 上のアーベル多様体の有理点のなす群は有限生成群であると主張する。 ヴェイユ予想は、有限体上の多様体上の有理点の分布に関連していて、多様体が定義される最も小さな部分体が存在し、それへ属する点から有理点が構成されることを意味している。
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