モーデル・ヴェイユの定理とは? わかりやすく解説

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モーデルの定理

(モーデル・ヴェイユの定理 から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/03/23 19:27 UTC 版)

数学におけるモーデルの定理(モーデルのていり、: Mordell's theorem)とは、有理数体 Q 上の楕円曲線 E有理点無限遠点 O のなすアーベル群 E(Q) が有限生成になる、という定理である。有限生成アーベル群の基本定理から有限生成アーベル群は次に同型であることが知られている。

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モーデル・ヴェイユの定理(Mordell–Weil theorem)は、数体 K の上のアーベル多様体 A に対し、A の K-有理点の群 A(K) が、モーデル・ヴェイユ群(Mordell-Weil group)と呼ばれる有限生成アーベル群であるという定理である。A が楕円曲線で K が有理数体 Q の場合をモーデルの定理と言い、1908年頃にアンリ・ポアンカレ(Henri Poincaré)により提示された疑問に答えたもので、1922年にルイス・モーデル(Louis Mordell)により証明された。

接する弦のプロセス(tangent-chord process)(三次曲線(cubic cuve)における加法定理の一種)は、17世紀より知られている。フェルマー(Fermat)のは無限降下法は良く知られていたが、モーデルは(無限降下法の)証明の重要な段階である商群 E(Q)/2E(Q) を証明することに成功した。確かにこの群の有限性は、E(Q) が有限生成であることの必要条件であり、このことはアーベル群のランクが有限であることを意味していて、本質的に難しいことであることが判明している。このことの証明は、E の点の二重性の直接の解析により初めて可能となる。

数年後、アンドレ・ヴェイユ(André Weil)はこの問題を取り上げ、数体上の高い種数を持つ曲線のヤコビ多様体へ一般化し、1928年に彼の博士論文として出版した[2]。一層抽象的な方法が要求され、同一の構造を持つ証明が遂行された。証明の後半は、A(K) の点の「サイズ」の限界を意味するある種類の高さ函数を必要とした。座標の測り方として、高さは対数的であり、従って大まかに言うと、同次座標英語版(homogeneous coordinates)の集合を書き下すことに何デジット必要かという疑問であった。アーベル多様体では、射影多様体として表現されていることから、何の前提も必要ない。

証明の前半も後半も、その後のテクニックの前進により大きく改善され、ガロアコホモロジーでは降下法が適用され、最良の高さ函数は、二次形式であることが研究により示されている。

今後の課題

未だに解決されていない問題はいくつかある。

脚注

  1. ^ Mordell (1922)
  2. ^ Weil, André (1928). L'arithmétique sur les courbes algébriques (PhD). Almqvist & Wiksells Boktryckeri AB, Uppsala.

関連項目

参考文献

  • 加藤, 和也、黒川, 信重、斎藤, 毅『数論I――Fermatの夢と類体論』岩波書店、2005年。ISBN 4-00-005527-5 
  • A. Weil, L'arithmétique sur les courbes algébriques, Acta Math 52, (1929) pp. 281–315, reprinted in vol 1 of his collected papers ISBN 0-387-90330-5
  • L.J. Mordell, On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees, Proc Cam. Phil. Soc. 21, (1922) p. 179.
  • J. H. Silverman, The arithmetic of elliptic curves, ISBN 0-387-96203-4 second edition

モーデル・ヴェイユの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/11/19 08:57 UTC 版)

モーデルの定理」の記事における「モーデル・ヴェイユの定理」の解説

モーデル・ヴェイユの定理(Mordell–Weil theorem)は、数体 K の上アーベル多様体 A に対し、A の K-有理点の群 A(K) が、モーデル・ヴェイユ群(Mordell-Weil group)と呼ばれる有限生成アーベル群であるという定理である。A が楕円曲線で K が有理数体 Q の場合モーデルの定理と言い1908年頃にアンリ・ポアンカレ(Henri Poincaré)により提示され疑問答えたもので、1922年ルイス・モーデル(Louis Mordell)により証明された。 接する弦のプロセス(tangent-chord process)(三次曲線英語版)(cubic cuve)における加法定理一種)は、17世紀より知られている。フェルマー(Fermat)のは無限降下法良く知られていたが、モーデルは(無限降下法の)証明重要な段階である商群 E(Q)/2E(Q) を証明することに成功した確かにこの群の有限性は、E(Q) が有限生成であることの必要条件であり、このことはアーベル群のランク有限であることを意味していて、本質的に難しいことであることが判明している。このことの証明は、E の点の二重性直接解析により初めて可能となる。 数年後アンドレ・ヴェイユ(André Weil)はこの問題取り上げ数体上の高い種数を持つ曲線ヤコビ多様体一般化し1928年彼の博士論文として出版した。一層抽象的な方法要求され同一構造を持つ証明遂行された。証明後半は、A(K) の点の「サイズ」の限界意味するある種類の高さ函数を必要とした。座標の測り方として、高さは対数的であり、従って大まかに言うと、同次座標英語版)(homogeneous coordinates)の集合書き下すことに何デジット必要かという疑問であったアーベル多様体では、射影多様体として表現されていることから、何の前提必要ない。 証明前半後半も、その後テクニック前進により大きく改善されガロアコホモロジーでは降下法が適用され最良高さ函数は、二次形式であることが研究により示されている。

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