点の群構造
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/29 01:43 UTC 版)
定義より、アーベル多様体は群多様体であり、点の群は可換であることを証明することができる。 よって、C に対しては、レフシェッツの原理によって、標数がゼロのすべての代数的閉体上の次元 g のアーベル多様体の捩れ群は、(Q/Z)2g と同型となる。従って、アーベル多様体の n-トーション部分は (Z/nZ)2g、すなわち、位数が n の巡回群の 2g 個の積に同型となる。 基礎体が標数 p 代数的閉体のときには、n と p が互いに素とすると、n-トーションは (Z/nZ)2g に同型である。n と p 互いに素でないときは、n-トーションがランク 2g の有限で平坦な群スキームを定義することと同じと解釈することが可能である。n-トーションの上の全スキーム構造を見ることに代わりに、幾何学的な点のみを考えると、標数 p の（いわゆる n = p のときの p-ランク）多様体の新しい不変量を得る。 大域体 k の k-有理点は、モーデル・ヴェイユの定理により有限生成である。よって、有限生成アーベル群の構造定理により、自由アーベル群 Zr と、に対しアーベル多様体の ランク(rank)と呼ばれるある非負な整数 r が存在して r 個の有限な可換群との積となる。同様な結果が k の他のクラスに対しても成立する。
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